Continuité uniforme

pages en tout) mais peuvent ˆtre regard´s sur ´cran, et leurs figures compl´mentent e e e e utilement le pr´sent polycopi´. e e Date: September 30, 2007. 1 Cours 1: fonctions d’une variable r´elle e ´ ´ 1. Fonctions d’une variable reelle: continuite, limites 1.1. Introduction. 1.1.1. Pourquoi ´tudier les fonctions d’une variable r´elle? e e Dans la plupart des sciences, on est amen´ ` ´tudier des grandeurs qui varient en fonction d’autres e a e grandeurs; par exemple, l’´nergie en fonction

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par

LES FONCTIONS Généralités sur les fonctions 1) Qu’est-ce qu’une fonction ? Soit I un intervalle de (. On définit une fonction f sur I lorsque, à tout réel x de I, on associe un seul réel y noté f(x). On dit alors que y est l’image de x par f ou que x est un antécédent de y par f. Une fonction est : souvent définie par une formule (ainsi on dira « on considère la fonction définie sur ( par f(x) = 5x2 ») ; parfois par une touche de calculatrice (voir par exemple, les fonctions

EXISTENCE ET UNICITÉ DE SOLUTION(S) D'ÉQUATION DU TYPE ¦(x) = l I) Notion de continuité sur un intervalle Définition 1 (intuitive) : Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ¦ est continue sur I si sa représentation graphique est d'un seul tenant sur I. Exemples et contre-exemples : · La fonction représentée ci-contre est non continue sur [-3 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur [-3 ; 1[ et sur ]1 ; 3]. ·

MATHÉMATIQUES I Filière MP MATHÉMATIQUES I On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensemble B des fonctions bornées et continues par morceaux de IR dans C : c’est un espace vectoriel I sur C . Il est muni de la norme uniforme définie par I x ∞ = sup x ( t ) t ∈ IR Pour tout ω appartenant à IR , on note e ω la fonction définie sur IR par la iωt formule : e ω ( t ) = e . On note U la fonction définie par U ( t ) = 1 si t > 0 , = 0 sinon. Tous les sous-espaI ces vectoriels

Exercice 2 : (5 points) On considère la fonction numérique définie sur IR par : f(x) = si x < 0 f(0) = 0 f(x ) = x² ln x si x > 0 1) a) Montrer que , pour x < 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]- ; 0[. Présiser le signe de f ’(x). b) Montrer que, pour x > 0, f est dérivable , et calculer sa dérivée sur ]0 ; + [. Présiser le signe de f ’(x). c) Calculer et En déduire que que f est dérivable en 0 et préciser f ’(0). d) La

Calculer lim x,y0,0 x/x 2  y 2  2) Continuité a) Définition:Soit f une fonction définie sur une partie A de  n et à valeurs dans  p . On dit que f est continue en un point a appartenant à l’intérieur de A, si l’on a : lim xa f x  f a ce qui se traduit par :   0,   0, x  A et x  a    f x  f a  . b) Remarque: Grâce à la remarque II)1) b), étudier la continuité de f f1, . . . , fp au point a se ramène à l’étude de la continuité des fonctions composantes f 1 , . .

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f :

is Chapeau Le présent simple Le présent continu Vous trouverez le mois prochain le corrigé de cette fiche dans la rubrique « corrigés des exercices » 1-A061-MO-WB-010-10 SOMMAIRE : |Présent simple / présent continu : formation |p. 2 | |Présent simple / présent continu : emplois |p. 3, 4 | |Exercice |p. 5

CCP PSI - 2010 Math´matiques 1 : un corrig´ e e Premi`re partie. e D´finition d’une structure euclidienne sur Rn [X]. e 1.1. B est clairement sym´trique et lin´aire par rapport ` sa seconde variable. De plus B(P, P ) ≥ 0 e e a et n’est nul que si ∀i ∈ [|0, n|], P (xi ) = 0. Si P ∈ Rn [X], on peut en d´duire que P = 0 (un e polynˆme non nul de degr´ n admettant au plus n racines). Ainsi, B est un produit scalaire sur o e Rn [X]. Le r´sultat est faux sur C(R, R) car P = n (X − xk ) ∈ C(R, R) est non