Continuité uniforme

ETUDES D’INGENIEURS DE NABEUL Corrigé : Examen du Premier Trimestre Épreuve d’Analyse Fait le : 12-12-2011 Section : MP 1 point pour la cohérence du raisonnement, la clarté et la concision du développement. Problème N˚ :(12pt) 1 1. (1 .5pt)La continuité (0 .5pt) : – x → (x − 1) + 2 (x − 1) ln2 x = (x − 1) (x − 1) + 2 ln2 x = 0 est continue sur ]0, 1[ . – x → xx−1 − 1 = exp ((x − 1) ln x) − 1 est continue sur ]0, 1[ . D’où f est continue comme rapport et composé de fonctions continues sur ]0, 1[

Etude de la fonction exponentielle : 1) Sens de variations : Théorème : la fonction exp est strictement croissante sur . Démonstration : Valable pour toute bijection strictement croissante. Soient u et v ( IR ; on a : u = ln ( eu ) et v = ln ( ev ) . Si u < v alors eu < ev car la fonction ln est strictement croissante ; ( lna < lnb ( a ey ( x > y ➢ ex = ey ( x = y ➢ ex > 1 ( x > 0 ➢ ex < 1 ( x < 0 2) Etude des limites : Théorème : • [pic] • [pic] Démonstration :

Introduction aux communications numériques Philippe Ciblat École Nationale Supérieure des Télécommunications, Paris, France Introduction Théorie de l’information Conception d’un système Introduction Excepté la radio et la télévision, toutes les communications actuelles se font en numérique Types de canaux : paire torsadée, ligne électrique, Hertzien, fibre optique Types de sources : analogique (voix) ou numérique (données) Objectif Transmettre le maximum de données (débit maximale (probabilité

impaire de l'exponentielle) sh' = ch donc sh est strictement croissante, et du signe de x. ch' = sh donc ch est décroissant sur ]–∞,0] et croissant sur [0,+∞[. -3- ex au voisinage de +∞. 2 (La notation ∼ est définie dans le chapitre Limites et Continuité qu'on trouvera dans le fichier f(x) LIMITES.PDF. f ∼ g au voisinage de x0 signifie que lim = 1) g(x) x → x0 sh(x) ∼ x au voisinage de 0 (car sh'0 = 1). ch(x) ∼ 1 au voisinage de 0. x2 x ch(x) – 1 ∼ car on vérifiera que ch(x) – 1 = 2 sh2( ) 2 2 sh(x)

x →−4 2 Exercices 1.9 1. a) Comme f ( x ) est un quotient de deux polynômes, elle est discontinue là où le dénominateur est nul, soit en x = 1 et en x = − 3 2 . Par conséquent, f ( x ) est continue sur \ {− 3 2 , 1} . Vérifions d’abord la continuité de la fonction aux endroits où la fonction change d’expression, soit en x = 1 et en x = 4 . On a f (1) = 1, lim− f ( x ) = lim− x 2 = 1 et lim+ f ( x ) = lim+ x = 1, de sorte que la fonction est x →1 x →1 x →1 x →1 b) continue en x = 1 ,

UNIVERSITE LEIBNIZ Gottfried Wilhelm , 1646-1716 Daubelcour Jean-Pierre IREM de Lille 1 SOMMAIRE PREFACE CHAPITRE I : LES NOMBRES REELS COMME DEVOPPEMENT DECIMAL ILLIMITE. CHAPITRE II : LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS . CHAPITRE III : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE REELLE. CHAPITRE IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) CHAPITRE V : COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL( La dichotomie : outil de calcul

[correction] Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels normés réels, f une application de E1 dans E2 telle que pour tout compact K de E2 , f −1 (K) soit un compact de E1 . Montrer, si F est un fermé de E1 , que f (F ) est un fermé de E2 . 1 Continuité et topologie Exercice 1 [ 01123 ] [correction] Justifier que U = (x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < x3 + y 3 est un ouvert de R2 . Exercice 2 [ 01124 ] [correction] Montrer que GLn (R) est une partie ouverte de Mn (R). Exercice 3 [ 01125 ] [correction]

Globalement qu'est ce que la Bourse? La bourse est le lieu de rencontre des offreurs et des demandeurs des valeurs mobilières cotées. Quel est son role? La réponse de la question 2 est incluse dans la 1. Comment fonctionne-t-elle? Son fonctionnement débute à 9 h jusqu'à 17 h 30 en continue (CAC veut dire cotation assistée en Continue). Elle présente le nombre de titres vendus et le nombre demandé. Qu'est ce qu'une action? Une action (j'en ai parlé l'année dernière) est un titre de

ROC: Restitution Organisée des Connaissances  Terminale S Septembre 2005 Table des matières 1 Analyse 2 1.1 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Fonction exponentielle, existence et unicité . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Propriétés

: Fp = p.Sp Et la force de traction équivaut à : Ft = p.St On conclut que la force de traction est effectivement plus faible que celle de la poussée à cause de la surface réduite par la tige du vérin. La masse déplacée, d'un mouvement uniforme, suivant un axe vertical se définit à partir de la relation : P = m • g. - P = F -> P = Poids du solide F = force de poussée - m = F/g - F = 1 000 N - g = 10 m/s2 - Masse m : m = = 100 kg 1bar= 10^5 Pa N=P.S (F en N) (P en N/m) (S