Continuité

rapproche de x0 » On note lim x!x0 f .x/ D C1. Définition 1.3 Soit f WR ! R une fonction.On dit que f admet ` pour limite lorsque x tend versC1si « f .x/ se rapproche de ` lorsque x est de plus en plus grand » On note lim x!C1 f .x/ D `. 2. Continuité Définition 2.1 Soit f WD ! Rune fonction et x0 2 D.On dit que f est continue en x0 • si f admet une limite quand x tend vers x0 • et si cette limite est égale à f .x0/. C’est-à-dire, f continue en x0 ” lim x!x0 f .x/ D f .x0/ Remarque

appliquant le théorème de Rolle entre α et a, on obtient c ∈ ]α, a[ ⊂ ]0, a[ tel que f (c) = 0. Exercice 34 : [énoncé] a) La fonction g : x → f (x)/x est définie, continue et dérivable sur ]0, a]. Quand x → 0, g(x) → f (0) = 0 Prolongeons g par continuité en 0 en posant g(0) = 0. Puisque g est continue sur [0, a], dérivable sur ]0, a[ et puisque g(0) = g(a), le théorème de Rolle assure l’annulation de la dérivée de g en un point c ∈ ]0, a[. b) xf (x) − f (x) g (x) = x2 donc g (c) = 0 donne cf (c)

Etude d’une fonction 1. 1.a 1.b Soit f l’application de ℝ ∗ dans ℝ définie par : ∀t ≠ 0, f (t ) = Justifier que f est continue et paire. Former le développement limité à l’ordre 2 de f au voisinage de 0. Par quelle valeur peut-on prolonger f par continuité en 0 ? Désormais f désigne la fonction obtenue par ce prolongement. Justifier que f est dérivable en 0, donner f ′(0) ainsi que la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Justifier que f est aussi dérivable sur ℝ ∗ et calculer f ′(t

fonctions à valeurs complexes. Les encadrements éventuels s’effectueront sur les modules. On a par exemple encore le résultat fondamental suivant : C) Continuité et dérivabilité. 1) Définitions. La notion de limite étant maintenant bien précisée pour les fonctions à valeurs complexes, les définitions fondamentales de continuité et de dérivabilité se généralisent naturellement. On dira qu’une fonction f à valeurs dans C est continue en un réel x0 de son ensemble de définition I si

courbe continue existe comme objet mathématique bien défini, le processus d'encadrement et de passage à la limite de Riemann est nécessaire, et pour le réaliser il faut avoir recours au concept de continuité uniforme. Sans chercher à escamoter cette difficulté et sans avoir recours à ce concept de continuité uniforme qui est résolument hors programme en terminale scientifique, nous essayons dans ce qui suit de montrer par quel choix d'axiomes ou de propositions admises et géométriquement significatives

résistance. Nous obtenons donc en sortie du filtre passe-bas le signal figure 4. Figure 4: Tension en sortie du filtre passe-bas La tension obtenue est bien 230V en continue, la constante de temps est réglable mais ce fera au détriment de la continuité de la tension. Les paramètres R et L fixant cette caractéristique. Nous avons ici choisi R=10Ω et L=0.1F qui assure un rapport lissage, temps de monté optimal. 4. Hacheur Une fois avoir obtenue la tension continue voulue nous pouvons, à l’aide

−9 ⋅ 2 + 17 = −1 ou f (2) = 11 ⋅ 2 − 23 = −1 . De même : f (3) = 11 ⋅ 3 − 23 = 10 ou f (3) = 9 ⋅ 3 − 17 = 10 . On peut donc prendre soit l’expression à gauche soit l’expression à droite dans le tableau ! (Ceci provient de raisons de continuité, que vous ne comprenez pas encore pour le moment. Patience …) Exercice 2. Ecrire sans valeur absolue à l’aide d’un tableau les fonctions b) h (x ) = x 2 − 1 − 3 ⋅ x 2 + 2x − 15 suivantes : a) g (x ) = x − 1 + 3 − 2x x −2 (Attention au domaine

Mathématique : Théorie. Algèbre. Chapitre 7 : Calcule de limite. Une fonction réelle f est continue en x=a si lim f(x) = f(x). Une fonction réelle f est discontinue en x=a si elle n'est pas continue en x=a Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels elle est continue. On le note dom f . Chapitre 8 : Les asymptotes. Une asymptote à une branche infinie de courbe est une droite telle que la distance d'un point de la courbe à la droite tend

: { R x → R → 1+λx .x2 n a. Discuter la convergence simple ( suite ou s´rie :` voir )de fonctions selon λ e a b. Etudier la convergence uniforme sur R CCP 41 gn (x) = ln(1 + 2n .x2 ) , et G(x) = 2n+1 gn (x) n 0 Domaine de d´finition, de continuit´ et de d´rivabilit´ de G? e e e e CCP 42 8 points. Cours Soit une s´rie enti`re e e n 0 an z n de rayon R > 0. a. Montrer que la s´rie converge uniform´ment sur B(0,r) pour r < R. e e b. Montrer que la somme est continue sur la boule ouverte

s'interprète par x 2 + 1 + c. 02 + 1 + c = 2 d'où c = 1. x 2 + 1 + 1. Conclusion : la primitive cherchée est la fonction F définie par F(x) = Question : une fonction non continue ƒ peut-elle admettre des primitives sur ses intervalles de continuité ? Réponse 1 : oui si ƒ est continue par morceaux :   £ ¢ Par exemple : ƒ(x) = 1 si x 0 − 1 sinon Sur [0 ; +∞[, ƒ admet des primitives F+ de la forme : F+(x) = x + c+. Sur ]−∞, 0[, ƒ admet des primitives F− de la forme : F−(x) = −x + c−