Continuité

n≥1 n≥0 e-) a-) A l'aide de l'égalité de Parseval, calculer ∑ n4. n≥1  1 —————————— La fonction f coïncide sur ]0, 2π[ avec la fonction g: x∈[0, 2π] → x2. Comme g est C ∞ sur [0, 2π], la restriction de f à ]0, 2π[ est prolongeable par continuité en une fonction C ∞ sur [0, 2π]. f étant 2π-périodique, f est C ∞ par morceaux sur IR. → Ne pas dire que f est paire !!! > f:=x->(x-floor(x/(2*Pi))*2*Pi)^2; 1 x   f := x →  x − 2 floor   2 π  π       2 b-) > plot(f,-14

) 3) La correction de continuité : Si une variable aléatoire discrète X peut être approchée par une variable aléatoire continue, il faut procéder à une correction de continuité. En effet, pour l’exemple de l’approximation des lois discrètes Binomiale ou de Poisson par une loi continue de type Normal, cela revient à considérer que la variable discrète est assimilable à une variable continue prenant toutes les valeurs possibles réelles. La correction de continuité revient à substituer à une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 18 18 18 19 19 19 19 Ensemble de définition . . . . . . . . . Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . Limite et continuité . . . . . . . . . . . Continuité sur un intervalle . . . . . . Fn en escalier, continue par morceaux Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . Équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . Négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . Dérivée, classe C 1 . . . Classe

λ, ou f (x) > λ. 4.3.2 Opérations sur les fonctions numériques Soit f une fonction à valeurs réelles, définie sur une partie D de R (son domaine de définition). L’ensemble D consiste le plus souvent en une réunion d’intervalles. L’étude de f (continuité, monotonie, extrémums, etc.) s’effectue cependant intervalle par intervalle. C’est pourquoi on se limitera souvent à des fonctions réelles, définies sur un intervalle I de R (évidemment l’intervalle I ne doit être ni vide, ni réduit à un point)

dérivée (tableau de varitation) Coût marginal : surplus de coût pour la fabrication de h unités supplémentaires Cm = Cx+h-C(x)h On assimile Cm à limh→0Cx+h-C(x)h Donc le cout marginal est défini par la fonction Cm (x)=C’(x) > Limites et continuité  o LIMITES DES FONCTIONS USUELLES f(x) | x | x² | x3 | x | 1x | lim quand x tends vers +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | +∞ | 0 | lim quand x tend vers-∞ | -∞ | +∞ | -∞ | | 0 | limx→0x>o= +∞limx→0x<0= - ∞ | o OPERATIONS SUR LES LIMITES

que[pic][pic]. b) Montrer que F est dérivable sur[pic]et calculer F ’(x). 2/ a) Montrer que[pic]. b) En déduire que[pic]. c) Dresser le tableau de variations de F. EXERCICE N° : A] Soit la fonction f définie sur[pic]. 1/ Etudier la continuité de f sur[pic]. 2/ Montrer que[pic]. 3/ On se propose dans cette question d’étudier la dérivabilité de f en 0. Soit h un nombre réel strictement positif et g la fonction définie sur[pic]. a) En utilisant le théorème des accroissements finis,

comprendre est l’algorithme de di- chotomie. exercice : déterminez (en fonction de a, b et n) le nombre d’étapes nécéssaires pour obtenir un encadrement de x de largeur 10−p. Il est simple à mettre en oeuvre et présente l’avantage de n’exiger que la continuité (et pas la dérivabilité) de la fonction étudiée. Mais il a l’inconvénient de n’être utilisable que pour des solutions d’équations réelles. corrigé succint : La largeur de l’intervalle au bout de l’itération n est (b − a)/2n , et on veut donc (b−a)/2n

encadrements Troisi` eme partie Prop 16.1. Soit I un intervalle de R, a un point ou une borne de I, f et g d´efinies sur I, telles que f (x)  g(x) pour tout x dans I. Si f et g admettent des limites (finies ou infinies) en un point a, on a : Continuit´ e 17 D´ efinition lim f (x)  lim g(x). x!a x!a Attention. Mˆeme si on a une in´egalit´e stricte entre f et g pour tout x, l’in´egalit´e portant sur les limites est large : il peut y avoir ´egalit´e des limites. Les deux fonctions suivantes

non formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénition formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équivalence des Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 53 53 54 54 9 Notion de la continuité d'une fonction 9.0.45 9.0.46 Les parties compactes de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème (Borel-Lebesgue) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 56 57 Analyse 2 Premier cycle Bekkali 9.0.47 9.0

l’amour propre. C’est une écriture de petit format, de recherche. Chacun des fragments qui composent ces œuvres sont séparés par un blanc typographique. L’ensemble formant donc un genre nouveau qui contraste avec les habitudes du siècle en refusant la continuité méthodique. Il en ressort une esthétique de la conversation, du type de celles qui se déroulaient dans les salons, qui étaient régulièrement fréquentés par La Rochefoucauld et d’où il tirait son inspiration pour ses maximes. Des maximes qui