Continuité

la même limite que ses deux « gendarmes ». • Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible : CONTINUITE ET DERIVATION L'étude des fonctions est complétée en terminale par la notion de continuité. C'est l'occasion de découvrir une fonction qui n'est pas continue : la fonction partie entière. Cette notion de continuité est importante en économie ; elle sert notamment à modéliser les phénomènes à effet de seuil. 1. Comment reconnaît-on une fonction continue 

pour tout k ∈ IN et tout x ∈ [0, +∞[ : (k+1)π uk (x) = kπ e−xt ϕ(t) dt Pour chaque k ∈ IN, la fonction (x, t) → e−xt ϕ(t) est continue par th´or`mes e e g´n´raux sur [0, +∞[×[kπ, (k + 1)π]; on peut donc appliquer le th´or`me de e e e e continuit´ sous le signe somme pour les int´grales sur un segment. On en d´duit e e e que pour tout k ∈ IN, l’application uk est continue sur [0, +∞[. Cela termine la d´monstration du fait que f1 a un prolongement continu a e ` [0, +∞[. 5 e e e La fonction

C-dérivable sur Dρf et f est la somme de la série dérivée qui a même rayon de convergence ρf que f f (z) nan z n−1 = n≥1 Corollary 1.1.6. disque de convergence. La somme d'une série entière est de classe C ∞ sur son Démonstration. La continuité de la somme de la série entière est une consé- quence immédiate de sa convergence normale. Le rayon de convergence de la série dérivée est donné par le théorème d'Hadamard. Pour la C−dérivabilité : soient r < ρ, z ∈ Dr Soit

Propriétés : décroissance des courbes d’indifférence et absence d’intersection entre les courbes d’indifférence de niveaux distincts. 2. En plus des trois hypothèses précédentes, si l’hypothèse de réflexivité ( ∀ X, XPX ) ainsi qu’une hypothèse de continuité sont vérifiées, alors P préordre complet continu. p. 3 Notes de cours Microéconomie AES 2010/2011 2.5 2.5.1 Le taux marginal de substitution (TMS) Définition – Interprétation de la pente de la courbe d’indifférence : rapport de

puisse améliorer le sort d’un individu sans détériorer celui des autres. Nous devons montrer que l’on peut améliorer le sort de tous. Si on prend un portion θ de son panier xi que l’on redistribue aux autres tel que xj = xj + (1- θ) xi /(n-1). Par continuité il est possible de choisir θ proche de 1 tel que si i voit toujours sa situation meilleure. Par monotonie tous les autres voit leur sort s’améliorer Le premier théorème du bien-être  Si on se situe dans le cas à deux biens et deux consommateurs

continue par morceaux sur R. • Pour chaque x ∈ R, la fonction ξ → Φ(ξ, x) est continue sur R. • Pour chaque (ξ, x) ∈ R2 , |Φ(ξ, x)| = |f(x)| = ϕ(x) où ϕ est une fonction continue par morceaux et intégrable sur R. Soit Φ : D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, f est continue sur R. ∀f ∈ L , f est continue sur R. 2) Montrons que W (resp. W ∗ ) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel L (resp. L ∗ ). On a déjà W ⊂ L (resp. W ∗ ⊂ L ∗ ). La fonction nulle est dans

suivant les signes TS - Fiche de cours : Limites - Asymptotes Limite d'une composée de fonctions a, b et l désignent soit des réels, soit +∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité - Dérivabilité Continuité f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 h→0 Limites obtenues par la dérivée Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim =

UNIVERSITE LEIBNIZ Gottfried Wilhelm , 1646-1716 Daubelcour Jean-Pierre IREM de Lille 1 SOMMAIRE PREFACE CHAPITRE I : LES NOMBRES REELS COMME DEVOPPEMENT DECIMAL ILLIMITE. CHAPITRE II : LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS . CHAPITRE III : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE REELLE. CHAPITRE IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) CHAPITRE V : COMPLEMENTS DE CALCUL DIFFERENTIEL( La dichotomie : outil de calcul

sa d´riv´e. e e On d´finit, pour x ∈ [0, 1[, e x2 f (x) = x dt . ln t 1. En utilisant la concavit´ du logarithme, d´montrer que e e ∀x ∈]0, 1], ∀t ∈]x2 , 1], 2 ln x (t − 1) ≤ ln t ≤ t − 1. x2 − 1 2. En d´duire que f se prolonge par continuit´ en 1. e e http://www.bibmath.net 5 ´ Exercices - Integration - Niveau 1 : ´nonc´ e e 3. Justifier que f est d´rivable sur [0, 1], et calculer sa d´riv´e. e e e 4. En d´duire la valeur de I = e 1 (t−1) 0 ln t dt. ´ ´ ´ ´ Methodes numeriques

(x). (c) Prouver que f admet une limite réelle ℓ en +∞. Encadrer cette limite ℓ. 3. (a) Soit g la fonction définie sur ] 0, +∞[ par g (x) = f (x) − f (c) Démontrer que f admet une limite finie en zéro. Préciser cette limite. On prolonge par continuité la fonction f en zéro en posant f (0) = lim + f (x) x−→0 For (b) En déduire que pour tout réel x > 0, 4. (a) En étudiant le sens de variation de la fonction x −→ montrer que pour tout x ∈] 0; 1[, point d’abscisse zéro ? (b) Démontrer