Continuité

par = 3. Déterminer les primitives de la fonction ℎ définie sur 0 ; +∞ par ℎ 4. Déterminer une primitive de la fonction définie sur − , +∞ par = 0. définie sur R par . qui s’annule pour = = . . Exercice 3 (fonction exponentielle, limites, continuité, dérivabilité, suites, 8 points) 1. Restitution organisée de connaissances : On rappelle que la fonction exponentielle est la solution de l’équation différentielle = telle que exp 0 = 1, que pour tout réel , exp > 0 et que l’exponentielle est strictement

-convergente on peut extraire une sous-suite ponctuellement presque partout convergente. Mais en fait (L. Carleson) on a convergence ponctuelle p.p. de Sj vers f sans avoir à passer à une sous-suite (on n’en donne pas la démonstration dans le cours). (b) continuité L2 des translations. Énoncé analogue pour L1 . (c) si f est continue les gN convergent uniformément vers f . Énoncé analogue pour L1 . Semaine 2 dθ 1. Soit U l’opérateur de multiplication par z = exp(iθ) sur K = L2 (S 1 , 2π ) = L2 (0, 2π; dt)

nécessite une réflexion sur la notion de fonction et de continuité. • Pour quelles fonctions ϕ les expressions an et bn sont-elles calculables ? Question liée au développement de la théorie de l'intégration. • Les séries convergent-elles, et si oui, est-ce vers ϕ ? Ce qui nécessite une théorie de la convergence. • ϕ étant donnée, y a-t-il unicité de la série trigonométrique qui converge vers ϕ (si tant est qu'il en existe une) ? Continuité, intégration, convergence. A l'époque de Fourier, aucune

Soit (fn )n≥1 une suite de fonctions mesurables positives. Alors, lim inf fn dµ ≤ lim inf n→∞ n→∞ fn dµ. La th´eor`eme de convergence domin´ee, utile tel quel, permet aussi d’obtenir ces deux r´esultats de continuit´e et de diff´erentiabilit´e sous l’int´egrale. Th´ eor` eme 17 (Continuit´ e par rapport ` a un param` etre). Soit f : Ω×E −→ R telle que 1. pour tout t ∈ E, la fonction ω → f (ω, t) est mesurable, 2. pour µ-presque tout ω ∈ Ω, la fonction t → f (ω, t) est continue en a ∈ E, 3. il existe

régulière du DLn de f. En revanche, le fait qu'une fonction admette un DLn en x0 n'assure pas que la fonction soit n fois dérivable en x0 (par exemple x ↦ x3sin(1/x) – prolongée par continuité en 0 – admet, en 0, un DL2 mais pas de dérivée seconde). On peut juste déduire, de l'existence d'un DL0 en x0, la continuité en x0, et, de l'existence d'un DL1 en x0, la dérivabilité en x0. Quelques utilisations[modifier | modifier le code] Le développement d'ordre 0 revient à écrire que ƒ est continue en

que e e +∞ n n ∀n ∈ N , k=n+1 ∗ fk (x) ≤ |fn+1 (x)| ≤ 1 n+1 Le majorant est ind´pendant de x ∈ [0, 1] et est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle. e e e (fn ) est donc uniform´ment convergente sur [0, 1] e Par th´or`me de continuit´ des sommes de s´ries de fonctions, e e e e L ∈ C 0 ([0, 1]) En particulier, L(1) = lim L(x) = lim ln(1 + x) = ln(2) x→1− x→1− 1.2 Etude de la s´rie e 1 k cos 2kπ 3 k≥1 . 2.1 On d´coupe la somme en trois parties selon la

paramètre. Bien sûr, on ne peut pas en général calculer explicitement la valeur de F(x) pour chaque x. Pour pouvoir étudier F, on a besoin de théorèmes généraux permettant de déterminer si F est continue, dérivable et de pouvoir exprimer la dérivée. Continuité d'une intégrale à paramètre Théorème : Soit f:I×J->R une fonction continue par morceaux telle que 1. Il existe une fonction g:J->R intégrable telle que, pour tout x de I et tout t de J, on a 2. Pour tout t de J, la fonction est

contr^ le (trµs partiel) des calculs e o e des deux premiµ res parties. e ² Dans tout le problµme je note Á les fonctions auxiliaires introduites . e ² J'utilise r¶guliµrement la propri¶t¶: Si Á est continue positive sur R +¤ , si Á se prolonge par continuit¶ en 0 et si e e ¢ e e e ¡ limt!+ 1 t2 Á(t) = L 2 R alors Á est int¶grable sur R +¤ . En e®et les deux premiµres hypothµses assurent l'int¶ grabilit¶ e e e e e sur ]0; 1] alors que la premiµre et la troisiµme l'assure sur [1; +1[ . e e ¡ ¢ ² De m^me

croissante, n Є A (Vn) décroissante, n Є A Pour tout n de A, Un ≤ Vn * Deux suites adjacentes sont convergentes vers une même limite. Suites arithmétiques Terme général Somme de termes consécutifs Sommes particulières Limites de fonctions et suites Continuité d'une fonction: Suites géométriques Ω (a;b) Dérivées et primitives * Le nombre dérivé en a de f est la limite finie, si elle existe, du taux d'accroissement de f en a. * Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente TA en A

I.2.1 I.2.2 I.2.3 I.2.4 Continuité, différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule des accroissements finis,formule de Taylor Dérivées partielles des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 27 29 Sommaire Concepts Exemples Exercices Documents 23 section suivant I.2.1 Continuité, différentiabilité Documents