Continuité

du premier ordre. 2. Montrer que admet une limite en . 3. Etudier la continuité de la fonction { | | 4. Etudier la dérivabilité de , dresser son tableau de variation et tracer son graphe. Correction exercice 1. Pour tout , est la composée de fonction dérivable donc ( Donc est dérivable. ) est solution de l’équation différentielle du premier ordre 2. 3. Pour , la fonction est continue, il reste à regarder la continuité en . | | Donc 4. Si est continue en . , est dérivable. En | | :

EXISTENCE ET UNICITÉ DE SOLUTION(S) D'ÉQUATION DU TYPE ¦(x) = l I) Notion de continuité sur un intervalle Définition 1 (intuitive) : Soit ¦ une fonction définie sur un intervalle I. On dit que ¦ est continue sur I si sa représentation graphique est d'un seul tenant sur I. Exemples et contre-exemples : · La fonction représentée ci-contre est non continue sur [-3 ; 3] : en effet, elle n'admet pas de limite en 1 (la courbe fait un "saut"). Néanmoins, elle est continue sur [-3 ; 1[ et sur ]1 ; 3]. ·

Charg´e de cours Table des mati` eres Objectifs du cours d’Analyse 4 1 Fonction d’une variable r´ eelle 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Continuit´e en un point xo . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Continuit´e `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . 1.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Limite `a droite, `a gauche de xo . . . . . . . . . 1.3.2 Op´erations

a Dans le cadre de l’intégrale de Riemann, pour f régulière, ces résultats s’obtiennent aisément : la continuité de f fournit le premier, et l’existence d’une dérivée continue suffit au second. La question est : l’intégrale de Lebesgue permet-elle d’étendre ces résultats, en relaxant les hypothèses de régularité effectuées sur f ? La réponse est affirmative : Définition : (Absolue continuité) [1], p.178 On dit qu’une fonction f définie sur un segment [a, b], à valeurs dans C, est absolument continue

Ch 3 Fonctions : limites , continuité , dérivabilité (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette) Comment appliquer le théorème des « valeurs intermédiaires » ? Méthode Le théorème dit « des valeurs intermédiaires » permet de démontrer qu’une fonction prend au moins une fois une valeur donnée , c’est à dire de justifier l’existence de solution(s) pour une équation du type f(x) = k . Il faut pour cela que la fonction soit continue

pages en tout) mais peuvent ˆtre regard´s sur ´cran, et leurs figures compl´mentent e e e e utilement le pr´sent polycopi´. e e Date: September 30, 2007. 1 Cours 1: fonctions d’une variable r´elle e ´ ´ 1. Fonctions d’une variable reelle: continuite, limites 1.1. Introduction. 1.1.1. Pourquoi ´tudier les fonctions d’une variable r´elle? e e Dans la plupart des sciences, on est amen´ ` ´tudier des grandeurs qui varient en fonction d’autres e a e grandeurs; par exemple, l’´nergie en fonction

x →−4 2 Exercices 1.9 1. a) Comme f ( x ) est un quotient de deux polynômes, elle est discontinue là où le dénominateur est nul, soit en x = 1 et en x = − 3 2 . Par conséquent, f ( x ) est continue sur \ {− 3 2 , 1} . Vérifions d’abord la continuité de la fonction aux endroits où la fonction change d’expression, soit en x = 1 et en x = 4 . On a f (1) = 1, lim− f ( x ) = lim− x 2 = 1 et lim+ f ( x ) = lim+ x = 1, de sorte que la fonction est x →1 x →1 x →1 x →1 b) continue en x = 1 ,

DERNIÈRE IMPRESSION LE 29 septembre 2013 à 15:48 Continuité et dérivabilité d’une fonction Table des matières 1 Continuité d’une fonction 1.1 Limite finie en un point . . . . . . 1.2 Continuité en un point . . . . . . 1.3 Continuité des fonctions usuelles 1.4 Théorème du point fixe . . . . . . 1.5 Continuité et dérivabilité . . . . . 1.6 Continuité et équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ c)| ≤ δ(2|c| + δ) ≤ ε df √ df avec δ = min( ε/2, ε/(4|c|)) si c = 0 ou δ = ε si c = 0 et ceci pour un réel ε positif quelconque. Comme c est une valeur arbitraire, f est donc continue sur R. s Bien souvent il est utile d’avoir un critère de continuité impliquant des suites numériques. Ce critère est donné dans le théorème suivant. Théorème 4.1. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si et seulement si pour chaque suite (xn )n∈N de points appartenant à Dom(f ) qui converge vers c

donc On a donc On a toujours à l’infini Et si Comme précédemment, on en déduit que Ainsi, de proche en proche, on démontre que tous les coefficients sont nuls et donc que le polynôme est le polynôme nul. On a donc On en déduit que la fonction par continuité en est la fonction nulle sur (on peut éventuellement la prolonger on a tend vers l’infini. Ce résultat signifie que si l’on trouve un moyen d’obtenir un développement limité, le polynôme obtenu est « le bon ». Or la formule de Taylor nous fournit