Continuité

fonction f admet une asymptote oblique ?........................................................................................................36 8.Comment étudier la position relative de Cf et d'une droite (D) qui lui est asymptote ?. .37 3) CONTINUITÉ...........................................................................................................................39 1.Comment montrer qu'une fonction f est continue ou non en a∈ℝ ?................................39 2.Comment montrer qu'une

W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier sont des fonctions « régulières ». Le premier degré de régularité, noté C 0 , est la continuité ; le degré suivant, noté C 1 , est la continue différentiabilité ; encore plus régulières sont les fonctions C 2 , C 3 , ..., puis C

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Parties compactes d’un evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Th´or`me de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 29 31 32 ´ C. Etude locale d’une application, continuit´ e I. Limite d’une application 0) Images directes et r´ciproques . . . . . . . . . . . e 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Cas d’un evn produit et de

fn = 2(n + 1). Mais alors, pour tout entier naturel non nul n, S fn 1 on obtient S = +∞. puis On a montré que sup f , f ∈ E \ {0} f 1 = +∞ et donc 1 fn fn = 2(n + 1). Quand n tend vers +∞, 1 n’est pas équivalente à . EXERCICE 2 : continuité d’une fonction définie par une intégrale 1. Soient I et J deux intervalles de R puis g : I×J → R une application de I × J dans R. Si (x, t) → g(x, t) • pour tout x de I, l’application t → g(x, t) est continue par morceaux sur J, • pour tout t

. . . . . . . . . e 1.4.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.1 Continuit´ en un point . . . . . . . . . . . . . e 1.5.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 1.5.3 Continuit´ globale . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.4 Hom´omorphismes . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.5 Uniforme continuit´ et Lipschitz continuit´ . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

Fiche Cours Nº : 32002 MATHEMATIQUES Série S LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 2 : les fonctions Plan de la fiche I - Limites, comportement asymptotique II - Dérivation III - Continuité I - Limites, comportement asymptotique Définitions Une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à droite ; • tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment

y (t) dt = 0 cos(ty(t))dt. Supposons b < +∞. cos(ty(t))dt est définie en tant qu’intégrale d’une fonction bornée sur un [0,b[ intervalle borné. b Quand x → b− , on a y(x) → y0 + 0 cos(ty(t))dt = . Posons y(b) = de sorte de prolonger y par continuité. Quand x → b− , y (x) → cos(bx) ∈ R donc y (b) = cos(b ) = cos(by(b)). On obtient alors une solution de l’équation différentielle définie sur ]a, b]. Cela contredit la maximalité de y. Absurde. Ainsi b = +∞ et de même a = −∞. 7 Supposons

Chap3 : Fonctions numérique à deux variables 1 2 3 4 5 Produit cartésien Fonctions de deux variables Limites et continuité Dérivées partielles Extremums - optimisation Pr. Otheman Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition Application Soient E et F deux ensembles quelconques non vides. On appelle produit cartésien de E par F et on note E × F , l’ensemble défini par : E × F = {(x, y )/x ∈ E et y ∈ F }. Exemple R2 = R × R R+ × R− = {(x, y )/x ≥ 0 et y ≤ 0} R3 = R × R × R Pr. Otheman Nouisser

Déterminer f (x2 + y 2 ) − f (0) . x2 + y 2 (x,y)→(0,0) lim F (x, y). Soit A une partie non vide de R2 et x un point de R2 . On note d(x, A) = inf x − a . Montrer que d : R2 → R est lipschitzienne. a∈A Exercice 2 [ 01734 ] Continuité   1 x2 + y 2 − 1 si x2 + y 2 > 1  . Soit f : R2 → R dénie par f (x, y) = 2  1 2  − x sinon 2 Montrer que f est continue. Exercice 7 [ 01738 ] Limite Exercice 3 Etudier les limites en (0, 0) des fonctions suivantes : a) f (x, y)