Continuité

Démonstration (pour le quatrième) : Soit [pic], continue. On suppose que [pic] est définie (c'est-à-dire que f ne s’annule pas). Soit [pic]. Alors [pic]. Comme [pic], on a bien [pic]. Ceci est vrai pour tout [pic], d’où la continuité de [pic] sur D. On fait la même chose pour les autres parties du théorème. 3) Composition Théorème : La composée, quand elle est définie, de deux fonctions continues est une fonction continue

−x + C 4 sin −x pour x ∈] − ∞,0 [ © dpic Ð inpl Ð mai 1999 Equations diffŽrentielles linŽaires du 2•me ordre. U.M.N. 11. Exercices corrigŽs. RACCORDEMENT DE LA SOLUTION EN 0 • Continuité de la solution en 0 lim f+ (x) = C1 et lim f− (x) = C3 x→0 + x→0 − la solution sera continue en 0 ssi C1 = C3 • Continuité de la dérivée première en 0 f+ (x) − C1 C (ch x − 1) + C2sh x 1 x = lim 1 = (C2 x + C1 + ο(x)) + 2 x x−0 x x→0 x→0 C la lim ite est finie ssi C2 = 0, la dérivée à droite en 0 vaut alors

Synthèse de cours (Terminale ES) Continuité, limites Continuité Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dira que « f est continue sur I » si l’on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. Exemples fondamentaux Les fonctions polynômes (dont les fonctions affines), la fonction racine carrée, les fonctions rationnelles (dont la fonction inverse) sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition. Le théorème des valeurs intermédiaires

I Logique et raisonnement VIII Combinatoire et probabilités II Calcul algébrique Mathématiques par Stéphane Perret Version 3.001 V Géométrie III Trigonométrie IV Fonctions VI Continuité, comportement asymptotique et dérivée VII Calcul intégral Table des matières I Logique et raisonnement principes de base de la logique Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . Les implications . . . . . . . . . . . . . .

minorée (par 0) toujours grâce à (a). D’après un théorème du cours elle converge. (c) Démontrer que l vérifie: l ∈ [0, 1] et l = f (l) puis déterminer l. Solution. La continuité de f est cruciale ici. La suite étant décroissante et minorée par 0, la limite est comprise entre 0 et u0 et donc elle appartient à [0, 1[. Grâce à la continuité de f sur cette intervalle et les propriétés générales des limites des suites : l = lim un = lim un+1 = lim f (un ) = f ( lim un ) = f (l). n→∞ n→∞ n→∞ Ainsi, pour

(x+1)2 D’où on a une unique solutions sur ℝ vérifié les conditions de l’exercice. Exercice 5 : (a) : convergence. la fonction f(t) = t−1 est continue ln(t) sur]0,1[ . 1 pour le point 1 : On a limt→1 f(t) = 1 , Donc elle est prolongeable par continuité au point 1 . D’où ∫1 f(t)dt converge. 2 1 1 1 Pour le point 0 : On a limt→0 √t f(t) = 1,donc f(t) = 0( t) au voisinage de 0 , de plus ∫02 ( t) dt converge d’après Riemann. √ 1 √ Ainsi ∫02 f(t)dt converge. Donc notre intégrale converge. Calcul

. . . . . . . . Valeurs premières d’un polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cyclicité du groupe multiplicatif d’un corps commutatif . . . . . . . . Quasi-surjectivité des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . Continuité des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-goupes discrets de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions à variations bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cesàro en version

fonction f ( x ) = x est une fonction continue sur [ −1, 1] , mais c) d) f ( x ) = x ne l’est pas sur cet intervalle, parce qu’elle n’est pas définie partout sur cet intervalle. Vrai. Il s’agit essentiellement de la définition de la continuité d’une fonction. Faux. Une fonction qui admet une discontinuité par trou en x = c n’est pas définie en ce point, mais elle est telle que lim f ( x ) existe. x →c 3. a) 2 b) 10 0 -6 -3 0 3 -10 © ERPI -1- c) 6 5 4 3 2

Red´montrons-le: e |f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − fn (x)| + |fn(x) − fn (a)| + |fn(a) − f(a)| ≤ 2N∞ (f − fn) + |fn (x) − fn(a)| Si ε > 0 est donn´, soit n fix´ tel que N∞ (f − fn ) ≤ ε/3. Par continuit´ de fn , il existe un voisinage de a e e e dans lequel |fn (x) − fn (a)| ≤ ε/3. On a dans le mˆme voisinage |f(x) − f(a)| ≤ ε ce qui prouve la continuit´ e e de f en a: c’est vrai pour tout a, cqfd. u(x) = e0 = 1 si x < 1 . Cette fonction ´tant e 4) La limite simple de (un) est la fonction u d´finie par e u(1) = e1 = 1 0

Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 41 Contenus Commentaires CompŽtences exigibles II. LIMITES On ne fera pas de théorie. Les explications resteront à un niveau intuitif. L'introduction des limites et de la continuité se fera sur des exemples. L'objectif est que les élèves sachent calculer des limites de fonctions usuelles. 1) Approche intuitive • Connaître et • On n'abordera que " la fonction f admet pour utiliser les cette variante de la limite un nombre réel