Continuité

Fonctions : limites et continuité Terminale S Exercices d’entrainement pour le chapitre 03 (limites et continuité) 0.1 Énoncés Exercice 5. Démontrer que, dans chacun des cas suivants, la courbe Cf admet une asymptote parallèle à l’axe des abscisses : 1. f : x −→ 3x2 − 2 sur R x2 + 1 2. f : x −→ 2 − 3x sur R +x+1 x2 Exercice 6. Soit f la fonction définie sur R∗ par : f (x) = x2 + 3x + 2 x Démontrer que la droite D d’équation y = x + 3 est une asymptote à la

RESUME A) SUITES DE FONCTIONS, CONTINUITE ET INTEGRATION Théorème 0.1 (Continuité) I est un intervalle de R, a ∈ I et (fn )n une suite de fonctions définies de I dans R telle que : i) fn −→ f CU (converge uniformément) ii) ∀n ∈ N : fn continue en a Alors : f est continue en a Théorème 0.2 (généralisation) (fn )n une suite de fonctions fn : [a, b] → R. On suppose : i) fn −→ f CU (converge uniformément) dans [a, b] ii) ∀n ∈ N : fn continue dans [a, b] Alors : f est continue dans [a, b] Théorème

................................ 2  B.  PROPRIETES FONDAMENTALES DU LOGARITHME NEPERIEN. ............................................... 3  III.  ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN. .............................................. 3  A.  CONTINUITE ET DERIVABILITE. ............................................................................................ 3  B.  INTEGRALE. ....................................................................................................................

la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien 1.1. Théorème La fonction exponentielle (de base e) est continue, strictement croissante sur  et : lim ex = 0 et x ® -¥ lim ex = +¥ x ® +¥ Démonstration : · Continuité La fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La fonction exponentielle est strictement positive sur  et

t  e ixt e t . Vérifions les hypothèses du théorème de dérivation: i) Intégrabilité de t  fx, t: On a t  e ixt e t est continue sur R et 2 |fx, t| e t 2 t  O t12  donc t  fx, t intégrable sur R. f 2 ii) Continuité de x : On a x  e ixt e t est de classe C 1 sur R donc f x f x existe avec : x, t  ite ixt e t , donc 2 f x f est continue sur R R. 2 2 iii) Domination de f x : On a | x x, t| |t|e t , l’application

2: suite d´ecroissante sauf les premiers termes + suite born´ee inf´erieurement 0.5, 0.9, 0.6, 1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001 · · · . an = 1 for n > 3 10n−4 ´ 3 LA CONTINUITE 15 • cas 3: certains autres cas 1 1 1 1 1, 0, − , 0, , 0, − , 0, · · · . an = 2 4 8 16 3 (−1) n−1 2 1 2 0, n−1 2 , si n impair, si n pair. La continuit´ e 3.1 D´ efinition Rappellez-vous que si f (x) est un polynˆome, alors lim f (x) = f (c). Ces types x→c de limites sont faciles a` calculer. Ceci m`ene a` la d´efinition

ouvert et n’est donc pas réduit à un singleton 8 • On va maintenant distinguer deux cas, selon que c appartienne à D ou non. - Si x0 ∈ D, alors x0 = di0 pour un certain i0 . Alors par continuité pour x > x0 suffisamment proche de x0 , on a f (x) − f (x0 ) ≤ g(x) − g(a) + .(x − c) + .2−i0 (1.3) (par continuité). Or pour x > x0 on a di <x 2i ≥ .2−i0 + 2−i (1.4) di <x0 . En sommant 1.2, 1.4 et 1.3, on obtient que x ne vérifie par 1.1 pour x assez proche de x0 suffisamment proche de x0 ; ce

Maths au lycee *** Ali AKIR Séries d’exercices 4ème technique Continuite et limites Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/ EXERCICE N°1 Calculer les limites suivantes : 1 − x² + 3 x 2 − x + x² x² + 2 − 3 x lim ; lim ; lim ; lim x ² + 3 x − 2 x ; lim x ² + 3 x − x ; x →+∞ 1 + x − x ² x →1 1 + x − 2 x ² x → +∞ x →+∞ x →1 x −1   x +7 − 3 x −3 1 lim x ² + 3 x − x ; lim x ² + 3 x − 3 x + 1 ; lim ; lim ; lim x  4 + − 2   x →−∞ x →+∞ x →3 x + 6 − 3 x →2 x +

I: Les fonctions un sont continues sur R+ comme quotient , à dénominateur non nul de fonctions continues. Pour tout Pour tout on a convergence normale sur tout segment inclus dans R+ ( question 1c ) donc continuité de S sur R+ > 1=2 on a convergence normale sur R+ (question 1b ) donc continuité de S sur R+ S est continue sur R+ , et continue sur R+ pour > 1=2 2c) Le dénominateur de f est le produit de deux fonctions positives croissantes de f (quand t varie) donc est croissant. f R n+1 est une

et métrologie. Mots clés : polynômes, calcul vectoriel, trigonométrie, développements limités, statistiques. Plan Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements limités Probabilités et Statistiques Calcul vectoriel Continuité, dérivation et fonctions réciproques Fonctions trigonométriques et leurs réciproques Étude des polynômes Formules de Taylor Développements