Contrat Aléatoire

inférieure à 1 / 6 (b) supérieure à 1/6 (c) égale à 1/6 (d) inconnue . 2. Une famille possède deux enfants. Quelle est la probabilité que ce soient deux filles ? (a) on ne peut pas savoir (b) 1/2 (c) 1/4 (d) 1 . 3. On effectue 2 tirages aléatoires successifs et sans remise dans un jeu de 32 cartes ordinaire. Quelle est la probabilité d’obtenir deux cartes identiques ? (a) 1 (b)1/16 (c) 0 (d) on ne peut pas savoir . 4. On lance deux dés cubiques non truqués. Quelle est la probabilité

la responsabilité de l'étudiant d'effectuer, au besoin, une courte révision. • Chapitre 1. Introduction à la probabilité (34 pages) Exercices avec corrections • Chapitre 2. Les variables aléatoires de lois discrètes (114 pages) Exercices avec corrections • Chapitre 3. Les variables aléatoires de loi continue (60 pages) Exercices avec corrections Thème 2: Chaîne de Markov (environ 4 séances) • • • • • Matrice de transition et classification des états. Stabilité, récurrence

distingue deux grandes catégories de méthodes de sondage : méthodes aléatoires ou probabilistes et méthodes non aléatoires ou empiriques. Méthodes aléatoires peuvent être simples ou stratifiées à plusieurs degrés tirés avec ou sans remise à probabilités égales ou inégales. Un sondage aléatoire simple : lorsque tout individu de la population a une probabilité connue différente de zéro d’appartenir à l’échantillon. Sondage aléatoire stratifié : La stratification consiste à utiliser une information

est conforme et provient de la chaîne de production F1 . » 3. Déterminer la probabilité de l’évènement C . 4. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité de l’évènement E sachant que l’évènement C est réalisé. Partie B 1. On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F1 , associe sa teneur en sucre. On suppose que X suit la loi normale d’espérance m 1 = 0, 17 et d’écart-type σ1 = 0, 006. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous

Antilles Guyane Juin 2013 2/5 BAC S b. D’après la propriété des probabilités totales : p(A) = r + (1 – r) × c. pA(R) = Correction 1 1 = (1 + 2r) 3 3 p(AR) r 3r = = p(A) 1 1 + 2r (1 + 2r) 3 2. a. Les 400 tirages sont aléatoires, indépendants. A chaque tirage, il n’y a que 2 issues : A et A . 1 p(R) = r. X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 400 et p = (1 + 2r) 3 240 b. La fréquence observée est f = = 0,6 400 1 1   Un intervalle de confiance au seuil

c) ?= 2) ?? ?=? ? ′ ?? ? ? ?? − ? ? ? − ? ?=? ′ = ?′ ?? ? + ? ? − ? ? − ? ′ Où ? est un vecteur de ℝ? Exercice 3 : On considère une matrice ? de dimension ?, ? ; le vecteur ? = ?? , ?? , … , ?? ′ et les vecteurs aléatoires ? = ??, ?? , … , ?? ′ et ? = ?? , ?? , … , ?? ′ . On suppose que les ?? sont iid de ? ?, ?? et que ? = ? − ?? 1) Déterminer, en fonction de ? et ? le vecteur ? qui minimise ? ?? ? par rapport à ? (Indication : ? ?? ? = ?′ ? ) 2) Démontrer que

d’écart type σ = 3 convenait. 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 note 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 On dit que la note l’examen est relativement bien approchée par une variable aléatoire X où X suit une loi normale N (10 ; 3). les valeurs possibles pour X sont dans l’intervalle ] − ∞ ; +∞ [ la probabilité que X soit compris entre 10 et 11 est égale l’aire sous la courbe entre 10 et 11 soit ≃ 0, 13 on note alors : p(10 ≤ X ≤ 11) ≃

points Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N µ, σ2 de moyenne µ = 84 et d’écart-type σ. De plus, on a P (X 64) = 0, 16. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous. 16 % 10 20 Pondichéry 30 40 50 60 64 70

points) Les résultats seront arrondis au centième. Partie A Dans une usine U, une machine produit des barres de métal. Dans cette partie on étudie la longueur de ces barres. On définit la variable aléatoire X qui, à chaque barre, associe sa longueur exprimée en centimètres et on admet que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m=92,50 et d’écart type σ. Une barre de la production est mise au rebut si sa longueur est inférieure à 92,20 cm ou supérieure à 92,80 cm. 1. On suppose que σ=0

est égale à 0,352 5. 3. Calculer la probabilité que l’appartement soit de type T1 ou T2, sachant qu’il est rentable. PARTIE B On considère X la variable aléatoire égale au nombre d’appartements rentables dans un échantillon aléatoire de 100 appartements loués. On admet que toutes les conditions sont réunies pour assimiler X à une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne µ = 35 et d’écart type σ = 5. À l’aide de la calculatrice : 1. Calculer P (25 X 35). 2. Calculer la probabilité qu’au