Contrat Aléatoire

indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Variables aléatoires réelles 43 3.1 Définition-Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Variables aléatoires absolument continues . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Fonction

séparément) Supposons maintenant que nous ́étudions une variable quantitative X dans k populations P1, P2, ....,Pk. Chaque population Pi correspond `a une modalité ai d’un certain facteur A = {a1, a2, ..., ak} On dispose de k échantillons (groupes) aléatoires extraits indépendamment les uns des autres : (g1) de taille n1 extrait de la population P1, ..., (gk) de taille nk extrait de la population Pk. On aura alors au total n = n1+ n2 +......nk sujets : S ={s1, s2, ..., sn}. Pour chaque sujet si nous

dire que la durée de vie soit supérieur à 120 mois. D’où on obtient le calcul suivant : P(X 120) ⇡ 0, 037. La probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit supérieur à 10 ans est d’environ 0, 037. Partie B 1. (a) Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant pris l’extension et qui l’ont fait jouer. D’après l’énoncé chaque client ayant souscrit à cette garantie a une probabilité de 0, 115 de faire jouer cette garantie. X suit alors une loi binomiale de paramètre

ni ε est l’erreur aléatoire, inconnue et centrée. Les variables Y, X1,X2,…,Xk et ε sont des vecteurs de n composantes. FP  x11     x 21   M  X 1 =  ; LLL;  xi1   M    x   n1   x1k     x2 k   M  ; Xk =   xik   M    x   nk   ε1    ε 2   M  ε =  εi   M    ε   n tou Te  y1     y2   M  Y =  ;  yi   M    y   n Le vecteur aléatoire Y est connu. Les vecteurs X1,X2,…,Xk sont connus et non aléatoires.  x1k   ε 1 

sur 12 Files d’attente I- INTRODUCTION Un phénomène d’attente est un système dans lequel des clients arrivent à un certain endroit et réclament un certain service. Les instants d’arrivée et les durées de service sont généralement des quantités aléatoires. Si un poste de service est libre, le client qui arrive se dirige immédiatement vers ce poste où il est servi, sinon il prend sa place dans une file d’attente dans laquelle des clients se rangent suivant leur ordre d’arrivée. Un système d’attente

. . . . . 1.2.1 Événement contraire . . . . . . . . 1.2.2 Intersection de deux événements . 1.2.3 Union de deux événements . . . . 1.3 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Loi équiprobable . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Propriétés de l’espérance et de la variance . . . . . . . . . 2 2 2 2 2 3 3 4 5 7 2 Probabilité conditionnelle 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Représentation

chercher le nombre total de tiercés possibles, le nombre total de quartés et de quintés. Exercice 4 (Notion de variable aléatoire) On considère une loterie à la foire avec 30 billets dont 5 billets gagnent 15 € et 2 billets gagnent 50 €, le reste étant des billets perdants. On tire deux billets simultanément. a) Donner les diverses valeurs possibles de la variable aléatoire X décrivant tous les gains possibles.(On ne tiendra pas compte de la mise, prix d’achats des deux billets) b) Donner la loi

PROBABILITÉS CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) 1. Expériences aléatoires et modèles Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard. A cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. ♦ ♦ ♦ ♦ Les sous-ensembles de l’univers

R2 , il gagne 45 euros. Enfin, s'il obtient moins de 2 boules rouges, événement que l'on note E, il ne gagne rien.     1. Montrer que les probabilités des événements R2 et R3 sont : P(R2) 5 et P(R3) 12 1 . 12 2. On note X la variable aléatoire donnant le gain du joueur. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. 3. Dans cette question on modifie les règles du jeu de la façon suivante : – Si le joueur réalise les événements R3 ou R2 il ne gagne plus d'argent

* 2) que leur utilité croît avec la richesse et qu'ils ont de l'aversion pour le risque   * 3) qu'il est possible de représenter leurs préférences par des fonctions définies sur les deux premiers moments d'une distribution de richesse aléatoire, à savoir l'espérance et la variance. * Étant donné que la richesse finale d'un individu est déterminée par le rendement de son investissement, cette dernière hypothèse signifie que les préférences des investisseurs peuvent être exprimées sous