Coordonnées cartésiennes

ci-dessus pour les dérivées sont applicables aux différentielles à condition de remplacer les « d(·)/dt » par des « d(·) ». I.. Systèmes de coordonnées Plaçons-nous dans l’espace usuel à trois dimensions et choisissons un point O et une base orthonormée directe B = (ux , u y , uz ). I..1. Coordonnées cartésiennes (Oz) uz M ux uy Les coordonnées cartésiennes d’un point M dans le repère orthonormé direct (O, ux , u y , uz ) sont les composantes du vecteur po−→ − sition OM = x ux + y u y + z uz

direct (O; u , v ) . On note P ce plan et P l’ensemble de ses vecteurs. 2/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique point MP de coordonnées (Re(z), Im(z))   dans le repère (O; u , v ) , on dit que z est l’affixe du point M dans ce repère et on peut la noter zM.  3/- Lorsqu’au nombre complexe z on associe l’unique vecteur w P de coordonnées (Re(z), Im(z))     dans la base (u , v ) , on dit que z est l’affixe du vecteur w P dans cette base et on peut la noter z w . 1 Exemples

repérage polaire. a. Coordonnées polaires d’un point. Activité 3 p.257 Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; I ; J). Définitions : Les points O et I définissent un repère polaire du plan : O est l’origine et I est le pôle. Soit M un point du plan distinct de l’origine O : • La longueur OM notée r est le rayon polaire du point M • La mesure de l’angle orienté (i ; OM) notée ( est son angle polaire. Les coordonnées polaires du point M sont

b. [pic] c. [pic] 5. Le cercle d’équation x² + y² – 6x + 4y + 1 = 0 a pour centre le point de coordonnées : a. (3, – 2) b. ( –3 ; 2) c. (– 3 ; –2) 6. Dans un repère orthonormal (O ;[pic]), le point M a pour coordonnées cartésiennes le couple (– 1 ; –[pic]), ses coordonnées polaires dans [pic]sont : a. [pic] b. [pic] c. [pic] Exercice

http://bacamaths.net/ Exercice 12 r r Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A et B dont les coordonnées polaires sont : æ pö A(2 ; 0) B ç 2; ÷ è 6ø On considère également le point C dont les coordonnées cartésiennes sont : C(- 3 ; -1) 1. Préciser, sans justification les coordonnées cartésiennes de A. 2. Calculer les coordonnées cartésiennes de B. 3. Calculer les coordonnées polaires de C. 4. Justifier que les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O dont on précisera le

aiguilles a d'une montre). Soit M un point du cercle tel que a soit une mesure, en radians, de uur uuuur l'angle orienté OI , OM . ( cos a O ) Définition du sinus et du cosinus : On appelle cosinus et sinus de a, et on note cos a et sin a, les coordonnées du point ® ® ® M dans le repère (O ; I, J) : OM = (cos a ) OI + (sin a ) OJ . J' Définition de la tangente : Soit D la droite (verticale) d'équation x = 1 dans le repère (O ; I, J) et H le point défini par (OM) Ç D. Ce point H existe dès lors

c’est donc le milieu de [ BC ] car ABC est isocèle en A. Donc CH = On en déduit que BC = 2 CH = 2 a sin → → α 2 2. Soit ( 0 ; OI ; OJ ) un repère orthonormé du plan. M est le point de coordonnées polaires 1 ,  π 4 .  a. b. Faire une figure. Préciser les coordonnées cartésiennes de M. xM = 1 x cos π 2 = 4 2 yM = 1 x sin 2− 2 π 2 = 4 2 c. Montrer alors que IM = → → Comme ( 0 ; OI ; OJ ) est un repère orthonormé, alors : IM = ( xM − xI )² + ( yM − yI )² =

1.1. Calcul de d(0) en fonction de dxr (cosinus directeurs partiels) dφ(0)=dφx0dφy0dφz0=-α.xx-xz.dxy+xy.dxz-α.xy+xz.dxx-xx.dxz-α.xz-xy.dxx-xx.dxy avec xn=xxxyxz et dxr=dxndyndzn 1.2. Calcul de dφ(0) en fonction de dxp et dxr (coordonnées cartésiennes) dpx0dpy0dpz0=dx+m.dφz0-n.dφy0dy-l.dφz0+n.dφx0dz+l.dφy0-m.dφx0 avec OnOn+1(0)=lmn=an.t11+rn+1.t13an.t21+rn+1.t23an.t31+rn+1.t33 2. Calcul de dp(p) et dφ(p) dp(p)dφ(p)=Rp-1,pt03×303×3Rp-1,pt.….R01t03×303×3R01t.dp(0)dφ(0) Les

ce point. Courbes cartésiennes classiques Exercice 10 [ 00584 ] [correction] [Astroïde] a) Etudier la courbe paramétrée définie par x = cos3 t y = sin3 t b) On note A et B les points d’intersection des axes (Ox) et (Oy) avec tangente au point de paramètre t = 0 [π/2] de la courbe précédente. Calculer la distance A(t)B(t). Exercice 11 [ 03112 ] [correction] [Cycloïde] Etudier la courbe paramétrée définie par x = t − sin t y = 1 − cos t Courbes en coordonnées cartésiennes Exercice 5 [ 00579 ]

.............................................................................................. Théorie de la membrane en coordonnées cartésiennes .......................... Voiles dont la surface moyenne est un paraboloïde ................................ Voiles dont la surface moyenne est un conoïde ....................................... Théorie de la membrane en coordonnées curvilignes............................. Transformation d’un voile par affinité .........................................