Cos Et Sa Fonction

------------------------------------------------- EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ;,). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2. b. f estelle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; ]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; ] :

FONCTIONS CIRCULAIRES Sont appelées fonctions circulaires les fonctions liées au cercle trigonométrique, à savoir notamment les fonctions sinus, cosinus et tangente. Rappelons une façon de définir ces trois fonctions : H Si H est l'intersection de la tangente au RAPPELS cercle en I avec la droite orientée (OM) J sin x alors tan x = IH . –1  cos x  1 tan x M –1  sin x  1 cos(–x) = cos x Cette définition prolonge celle déjà connue x dans le triangle rectangle

Fonction d´riv´e e e Sujets Dans chacun des exercices propos´s ci-dessous, calculez la fonction d´riv´e e e e de f sur E. Exercice 1 E = R f : x −→ Exercice 2 E = R f : x −→ Exercice 3 E = arcsin 3 5 7 − 8 cos(x) . 10 − 7 sin(x) 7 − 8 sin(x) . − cos(x) − 10 3 5 − π; − arcsin f : x −→ 9 sin(x) + 7 . 10 sin(x) + 6 2 Exercice 4 E = arccos − 2 ; 2π − arccos − 3 3 f : x −→ Exercice 5 E = ]−π; π[ f : x −→ 8 − 8 cos(x) . 3 cos(x) + 2 7 cos(x) − 2 . −3 cos(x) − 3 6 Exercice

Calculatrice autorisée. EXERCICE 1. 6 points. f est la fonction définie sur IR par f(x) = sin x (1 + cos x). →→ Cf est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; i , j ). 1. a. Montrer que f est périodique de période 2π. b. f est−elle paire ou impaire ? c. Expliquer pourquoi on peut restreindre l’étude de f à l’intervalle [0 ; π]. 2. Montrer que la fonction dérivée f’ de f est définie sur IR par f’(x) = 2 cos²x + cos x − 1. 3. Etude du signe de f’(x) sur [0 ; π] : a.

FONCTIONS CIRCULAIRES Sont appelées fonctions circulaires les fonctions liées au cercle trigonométrique, à savoir notamment les fonctions sinus, cosinus et tangente. Rappelons une façon de définir ces trois fonctions : H Si H est l'intersection de la tangente au cercle en I avec la droite orientée (OM) alors tan x = IH . Cette définition prolonge celle déjà connue dans le triangle rectangle. En effet, lorsque x est une mesure d'un angle aigu, on a dans le triangle OIH rectangle en I : tan

Rappels sur les fonctions trigonom´triques e A Fonctions circulaires ´ A.1 Rappels de trigonometrie Radians et cercle trigonom´trique e Le radian est une unit´ de mesure d’angle (orient´) e e d´finie par le fait que la mesure d’un angle plat est e π radians. Un angle droit par exemple mesure ±π 2 radians. 5π 6 2π 3 3π 4 π 2 π 3 π 4 π 6 On appelle cercle trigonom´trique le cercle centr´ e e en l’origine de rayon 1. La circonf´rence de ce cercle e mesure 2π. Pour repr´senter un

calculer des primitives de fonctions circulaires ou des intégrales faisant intervenir des fonctions circulaires. Par exemple, comment détermine-t-on une primitive1 de la fonction t → cos3 (t) ? La méthode consiste à se ramener à une somme de fonctions dont on connaît la primitive, ici des fonctions du type t → cos(at) et t → sin(at). Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules d’Euler. Pour tout réel θ , on a cos(θ ) = eiθ + e−iθ 2 et

2 MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Fonctions trigonométriques Définition 2.1 Cercle trigonométrique et fonctions trigonométriques  M sin α On suppose le plan euclidien muni d’un repère orthonormé (O, ı, ). On appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre O et de rayon 1. Pour α ∈ R, on note (cos α, sin α) les cordonnées de l’unique point # – M de C tel que (ı, OM) ≡ α[2π]. Proposition 2.1 Périodicité Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques : ∀(α, k) ∈ R × Z,

= θ Par définition, on a : cos θ = abscisse de M sin θ = ordonnée de M ( © http://www.bacdefrancais.net Angles orientés - trigonométrie Page 8 sur 20 1 j M s in θ θ O A cos θ i 1 Remarquons également que OM = i cos θ + j sin θ Remarquons qu’on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle : côté adjacent = côté adjacent car OM = 1 . hypothénuse côté opposé sin θ = = côté opposé car OM = 1 . hypothénuse cos θ = Remarque : Si θ est

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 1 Définition M ( voir animation ) →→ On dit qu'un repère orthonormé (O; i , j ) est direct → → lorsque ( i ; j ) = + π [2π] . 2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x, ● l'abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos x ou cos(x). ● l'ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin x ou sin(x). Propriété Pour tout réel x, on a x sin x x cos x