Cos Et Sa Fonction

.......................... 23 2 Département Mesures Physiques - IUT Orsay TD6 - Corrélation............................................................................................................................................... 23 1 - Fonctions d'autocorrélation ................................................................................................................................................ 23 2 - Intercorrélations entre 2 signaux .........................................

similaire, si (−→u , −→v ) = 202π 3 nous avons 202π 3 = 67 × 3 + 1 3 π = π 3 + 67π ; ici, il faut poursuivre un peu nos calculs afin de faire apparaitre un multiple de 2π à la place de 67π. Cela s’effectue de la manière suivante 67π = 68π − π,7.3. FONCTION COSINUS ET SINUS D’UN ANGLE ORIENTÉ 59 ainsi π 3 + 67π = π 3 + 68π − π = − 2π 3 + 34 × 2π. La mesure principale vaut donc − 2π 3 et l’angle géométrique associé a pour mesure !! − 2π 3 !! = 2π 3 . 7.2.2 Propriétés des angles orientés Voici quelques

• Étudiez la fonction f définie sur ℝ par f(x)= ln e x e−x 2 > with(plots): > g:=(exp(x)+exp(-x)): > f:=ln(g/2); > limit(f,x=-infinity); > limit(f,x=+infinity); > d:=(diff(f,x)); > factor(d); > solve(d=0); Tableau de variation : x f'(x) f(x) -∞ -∞ - 0 + +∞ +∞ 0 Mathématiques (MAPLE) Page 1/6 Rodrigues Mathieu EI1 > plot([f,d],x=-10..10,y=-1..10); ② ① La courbe ① représente la dérivée. La courbe ② représente la fonction f. Mathématiques

CAUSAUX - SIGNAUX ANALYTIQUES 1— RAPPELS 1.1, — Fonction signe . itl 1 t>0 On appelle ainsi la fonction sgn t= ad = ~1 t<0. sos 1 1.2. — Distribution vp Tr © La distribution valeur principale au sens de Cauchy de 1/t est définie par : 1 t <vp —, vlt) >= lim f LY ay t It>e e>0 t e>0 _ 1 1 @ Nousavons: $sqn tf =~ vp— iT v F 1 we {-— ian 1.3. ~ Quelques propriétés de la transformation de Fourier. © Soit f(t) une fonction réelle intégrable, nous avons : +00 +00 +o ftv)

. . . . . . . . 2.1.5 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques 2.2.3 Inégalités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Limites . . . . . . . . . . . . . .

3) sin x = −1 4) cos x = 1 5) cos x = −1 8) tan x = 1. no 2 (*IT) Résoudre dans R puis dans [0, 2π] les équations suivantes : 1 1) sin x = 2 1 2) sin x = − √ 2 1 3) tan x = −1 4) tan x = √ 3 √ 3 5) cos x = 2 1 6) cos x = − √ . 2 6) cos x = 0 7) tan x = 0 no 3(**IT) Résoudre dans R puis dans I les équations suivantes : 1 , I = [0, 2π] 2 4) cos(2x) = cos2 x, I = [0, 2π] 7) | cos(nx)| = 1 10) sin x = tan x, I = [0, 2π] 1) sin(2x) = 1 x = − √ , I = [0, 4π] 2 2 5) 2 cos2 x − 3 cos x + 1 = 0, I = [0

DIFFERENTIEL……………………………………………….19 ETUDES DE FONCTIONS………………………………………………..28 FONCTION LOGARITHME NEPERIEN………………………………38 FONCTION EXPONENTIELLE…………………………………………52 DENOMBREMENT……………………………………………………….66 PROBABILITES…………………………………………………………..74 NOMBRES COMPLEXES………………………………………………..97 DEVOIRS…………………………………………………………………….113 4 5 FORMULES FONDAMENTALES 1°) Dans les tableaux ci-dessous, récapituler les propriétés des fonctions trigonométriques. (On pourra utiliser un cercle trigonométrique). cos² x + sin² x = tan x = cotan

3.1. Loi de Descartes en M : sin i = n1 sin r π or r = − θ donc sin i = n1 cos θ 2 1 n1 cos θ d’où cos θ = sin i soit encore sin i = n2 n1 Le guidage est assuré si θ ≥ θL . Comme cos est une fonction décroissante sur [0, π ], cette condition devient : 2 cos θ ≤ cos θL D.Malka – MPSI – 2012-2013 – Lycée Saint-Exupéry Optique – Cinématique DS 1 – Corrigé Elargissement temporelle des impulsions ⇔ sin i ≤ n1 cos θL ⇔ sin i ≤ n1 1 − sin2 θL n2 n1 2 5. Rayon de plus court parcours. 5.1

(−→u ,−→v ) = −2π 3 . Solution : 1. −→u · −→v = ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos(−→u ,−→v ) = 2× 5× cos(π6 ) = 10× √ 3 2 = 5 √ 3 2. −→u · −→v = 3 2 3. −→u · −→v = 5 4 × 1 5 × (− 1 2 ) = − 1 8 2 Calculer cos(−→u ,−→v ). 1. ‖−→u ‖ = 2, ‖−→v ‖ = 3 et −→u · −→v = −3. 2. ‖−→u ‖ = 5, ‖−→v ‖ = 6 et −→u · −→v = 15 √ 2. Solution : 1. −→u · −→v = ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos(−→u ,−→v ) ⇔ cos(−→u ,−→v ) = −→u · −→v ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ D’où : cos(−→u ,−→v ) = −1 2 2. cos(−→u ,−→v ) = √ 2 2 . 3 Calculer ‖−→u ‖. 1. ‖−→v ‖ = 3, −→u · −→v

´ Une equation diff´ rentielle (ED) d’ordre n est une equation faisant intervenir une e ´ fonction y ainsi que ses d´ riv´ es y (k) jusqu’` l’ordre n. Par exemple, une telle equation e e a ˆ pourrait etre 1 y (t) = 2.y(t) ou y = x2 y − 5 x . 2 Dans le 2e exemple, il est sous-entendu que y est fonction de x, ou plutˆ t que x signifie o ´ l’application id = (x → x) : c’est en effet une egalit´ entre fonctions. e D´ finition 1 L’´ quation diff´ rentielle d’ordre n la plus g´ n´ rale peut toujours e