Cos Et Sa Fonction

réparation sont de 1,25 � 186,93 � 233,66 $. Mise à jour (suite) 8. La mesure du segment EF est environ de 2,67 cm. 9. La mesure de la surface grise est environ de 327,02 cm2. Page 78 3136 1077 Page 77 Page 76 �3 Page 73 Page 72 5RÉVISION 26 Les fonctions trigonométriques5 a b c m n h 9 12 15 5,4 9,6 7,2 4 �5 8 �5 20 4 16 8 10 7,5 12,5 8 4,5 6 Mesures des segments© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel SN – Vol. 2 27 10. a)

est notée cos(x) ou cos x. ● l'ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin(x) ou sin x. Exercice 09 x sin x x cos x 1 (voir réponses et correction) Donner les valeurs de : cos 0 ; sin 0 ; cos π ; sin π ; cos π ; sin π ; cos 3π ; sin 3π ; cos 2π ; sin 2π ; cos- π ; sin- π 2 2 2 2  2  2 Propriétés (voir démonstration 03) Pour tout réel x, on a : - 1 £ cos x £ 1 ; - 1 £ sin x £ 1 ; cos2 x + sin2 x = 1 2 x désigne le carré de cos x c'est-à-dire

b, p, q, x, y ∈ R (tels que les fonctions soient bien définies) et n ∈ N. La parfaite connaissance des graphes des fonctions trigonométriques est nécessaire. Relations fondamentales cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2 1 d − dx cotan(x) = 1 + cotan2 (x) = sin2 (x) 1 Arctan(x) + Arctan x = signe(x) × π 2 d dx tan(x) = 1 + tan2 (x) = cos1(x) 2 Arctan(x) + Arccotan(x) = π 2 x en radians 0 Arccos(−x) = π − Arccos(x) π 6 π 4 π 3 π 2 ix cos(x) sin(x) tan(x) 1 0 0 √ √ 3 2

dtb) ln t dtc) t dt t t ln Exercice 2 [ 00279 ] [correction] Déterminer les primitives suivantes : a) cos t sin t dtb) tan t dtc) cos3 t dt Im,n = 0 cos(mt) cos(nt) dt Exercice 9 Centrale PC [ 01547 ] [correction] Démontrer que, pour tout Q ∈ R [X], 1 π Q(t) dt = −i −1 0 Q(eiθ )eiθ dθ Propriétés de l’intégrale Exercice 10 [ 01965 ] [correction] Soit f : [a, b] → R une fonction continue par morceaux et c ∈ ]a, b[. Montrer que 1 b−a b Exercice 3 [ 00280 ] [correction] Déterminer

2009 - groupement A Éléments de correction Exercice 1 - (9 points) 1 1. On pose I = 0 t cos(nπt ) dt u(t ) = t donc v ′ (t ) = cos(nπt ) 1 On pose u ′ (t ) = 1 1 sin(nπt ) v(t ) = nπ 1 n 2 π2 et I = 1 t sin(nπt ) nπ cos(nπ) − 1 n 2 π2 1 − 0 1 nπ 1 sin(nπt )dt 0 t cos(nπt ) dt = 0 + 0 1 cos(nπt ) 1 0 = cos(nπ) . nπ 2. On considère la fonction f définie sur R , périodique de période 2,telle que : Pour la suite de l’exercice, on admet que : t sin(nπt

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4.1 Fonctions localement intégrables Soit I un intervalle de R et soit f : R −→ R une application. Définition 4.1.1 On dit que f est localement intégrable sur I si f est intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I. C’est à dire, f est localement intégrable sur I, si quelque soit [a, b] ⊂ I, alors b a f (x)dx existe. Remarque 4.1.1 Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables. On note par Loc(I, R) = { f :

signalé le résultat central du calcul intégral : pour toute fonction continue f : I 7! R, où I est un intervalle ouvert, il existe une fonction dérivable F : I 7! R telle que F 0 = f . Une telle fonction F s’appelle une primitive de f . Deux primitives F1 et F2 de la même fonction f diffèrent d’une constante additive : la fonction F1 F2 est constante, et donc une primitive n’est définie qu’à une constante R additive près. Une telle fonction F sera notée f dx, pour des raisons qui viennent du calcul

I 0 .e jt  1 La fonction caractéristique d’un doublet étant sin, le champ rayonné par chaque doublet est :  Explication : E1  Avec : E0  E1  E0 . sin  .e jt  E 2   j.E0 . cos .e jt  R R jI l sin   j 2  jt jI1 l sin   j 2  .e  0 .e e  E0 . sin  .e jt , 2 cR 2 cR R  j 2 jl  .e 2 cR De même, E2  jI 2 l sin(  ) R R R 2 2 .e  j 2   j I 0 l  cos  .e  j 2  e jt  I 0 l cos .e  j 2  e jt   jE . cos .e jt 0 2 cR 2 cR 2

+∞ Calculs de ζ(2) = n=1 +∞ 1 n2 +∞ 1) 1er calcul de un exemple. n=1 1 . De nombreux développements en série de Fourier fournissent la valeur de n2 n=1 1 . En voici n2 a) Soit f la fonction définie sur R à valeurs dans R, 2π-périodique telle que ∀x ∈ [−π, π], f(x) = |x|. 3 y = 2 1 f( x) −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 1 2 3 4 5 6 f est 2π-périodique, continue sur R, de classe C par morceaux et donc, d’après le théorème de Dirichlet, en tout

appartenant à l’intervalle [0; 2 ] et on considère les fonctions f et g , définies sur l’ensemble R des nombres réels , telles que :  Pour tout nombre réel t , f (t )  1  La fonction g est périodique de période 2 et :  g (t )  0 si 0  t     g (t )  1 si   t  2 Pour tout nombre réel t , on pose : h(t )  f (t )  g (t ) La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal . 1. les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées sur le document réponse n°1. ( figure