Cos Et Sa Fonction

Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL (sur 9 points) 1. Soit la fonction numérique g définie sur [0; π] par g(t) = (1 + cos2 t) sin2 t. (a) Calculons g′ (t) : g′ (t) = −2 cos t sin t × sin2 t + (1 + cos2 t) × 2 sin t cos t = 2 sin t cos t(− sin2 t + 1 + cos2 t) = 2 sin t cos t(cos2 t + cos2 t) = 4 sin t cos3 t (b) Sur [0; π], la fonction sinus est positive, par conséquent g′ (t) est du signe de cos t. Si t ∈ 0, Si t ∈ π 2 : : g′ (t) g′ (t) 0 donc g est strictement croissante sur

2ab+ b2. 3. (a− b)(a+ b) = a2 − b2. 4. (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3. Droites (Equation réduite), k,m, p ∈ R 1. parallèle à (Oy) : x=k. 2. non parallèle à (Oy) : y=mx+p. 3. coeficient directeur : différence ordonnées différence abscisses Fonctions affines f(x) = ax+ b avec a et b réels. 1. Si a > 0, f croissante. 2. Si a < 0, f décroissante. 3. f du signe de a à droite du zéro. Second degré réel f(x) = ax2 + bx+ c avec a 6=, b et c réels. 1. ∆ = b2 − 4ac. 2. Si ∆ < 0, pas de

circulaire K cotan(x) B M H sin(x) x cos(x) = abscisse de M tan(x) sin(x) = ordonnée de M 1 cos(x) A tan(x) = AH cotan(x) = BK eix = zM sin(x) cos(x) π 1 π + πZ, tan(x) = et pour x ∈ πZ, cotan(x) = / . Enfin pour x ∈ Z, cotan(x) = / . 2 cos(x) sin(x) 2 tan(x) Valeurs usuelles. Pour x ∈ / x en ◦ x en rd 0 30 45 60 90 0 π 6 π 4 π 3 √ 3 2 π 2 sin(x) 0 cos(x) 1 tan(x) 0 cotan(x) √ 1 2

On considère la fonction f : t 7→ e−t2 et, pour x ∈ R, on pose f̂(x) = ∫ +∞ −∞ e−ixtf(t) dt. 1. Montrer que l’intégrale ∫ +∞ −∞ f(t) dt est convergente et en déduire que, pour tout réel x, f̂(x) a un sens. 2. Montrer que f̂ est dérivable sur R et qu’elle satisfait l’équation différentielle y′ + x 2 y = 0. (1) 3. Résoudre l’équation différentielle (1) et donner l’expression de f̂ en admettant que∫ +∞ −∞ f(t) dt = √ π. PROBLÈME 1 Dans ce problème, g désigne la fonction définie sur R par

amplitude s'écrit alors: s(t) = k × [ u(t) + Uo ] × v(t) • En posant : et avec k ≈ 0,1 V -1 constante. A = k × Uo × Vm U m = m appelé taux de modulation U0 u(t) + Uo -15 V 0 V +15 V il vient (voir cours plus loin): s(t) = A × [ 1 + m × cos(2π.f.t) ] × cos(2πF.t) π π Amplitude modulée par le signal informatif décalé « cosinus » du signal v(t) • On peut interpréter le signal s(t) comme étant le signal de l'onde porteuse v(t) dont l'amplitude Vm est remplacée par le terme A × [1 + m.cos(2π.f

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Puissance électromagnétique: vecteur de Poynting Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissances: pertes et transport; Poynting . . . . . . . . [Produit de deux fonctions harmoniques]. . . . . . . . . Énergie et puissance d’ondes É/M harmoniques . . . . OPPM énergie électrique = magnétique . . . . . . . . . OPPM densité de puissance transportée . . . . . . . . . Réflexion / transmission entre deux milieux lhi Conditions

PRIMITIVES D'UNE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE I) Définition et conséquences Définition Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de ƒ toute fonction F dérivable sur I telle que F' = ƒ sur I. Exemple : On considère la fonction ƒ définie sur ƒ sur . Solution : F(x) = x 3 − x 2 + sin x. En effet, F'(x) = 3 x 2 − 2x + cos x = ƒ(x). Remarquons que si l'on avait choisi pour F la fonction définie par F(x) = x 3 − x 2 + sin x + 24, nous aurions encore eu une candidate

comètes, tous les feux d’artifices sont constitués à partir du même principe. Le but est d’emmagasiner un maximum d’énergie dans un minimum d’espace. 4/26 BLANC Alexandra, LEFEUVRE Alice & LEGAGNEUR Louise – 1S2 – TPE : Feux d'artifice – 2e jet En fonction du type d’artifice et de la disposition des pièces d’artifices sur la zone de tir, on peut obtenir une multitude de formes : c’est là qu’intervient le savoir faire de l’artificier. Dans les bombes, bombette et comètes, c’est la disposition des artifices

carrées, ω et −ω. Attention ! Contrairement au cas réel, il n’y a pas de façon privilégiée de choisir une racine plutôt que l’autre, donc pas de fonction racine. On ne dira donc jamais « soit ω la racine de z ». Si z = 0 ces deux racines carrées sont distinctes. Si z = 0 alors ω = 0 est une racine double. Pour z = a + ib nous allons calculer ω et −ω en fonction de a et b. Démonstration. Nous écrivons ω = x + iy, nous cherchons x, y tels que ω2 = z. ω2 = z ⇐⇒ (x + iy)2 = a + ib ⇐⇒ x 2 − y2 = a

( 0. 2) Si f est une fonction telle que f(2) = 1, alors f’(2) = 0. 3) Soit f la fonction définie sur [pic] par f(x) = x4 + x² + 4 a) La fonction f est toujours positive ou nulle sur [pic]; b) f’(x) = [pic] c) f’ est strictement négative sur [pic] Exercice 2 : 3 points : QUESTION DE COURS Démontrer que la fonction f(x) = [pic] est dérivable sur [pic] et que f’(x) = [pic] Exercice 3 (5 points) : Etude de variation d’une fonction Soit f la fonction définie sur [pic] par