Cos Et Sa Fonction

etc…). Compétences et capacités exigibles : (1. bloc 1) relu ? compris ? révisé ? appris ?   Connaître le mouvement d’un oscillateur harmonique (oscillant, fonction cosinus)   Connaître la résolution du système masse-ressort (forces, équation, solution)   Savoir utiliser les fonctions sinus et cosinus (dérivées 1ère, 2nde, valeurs en 0 et  2 )   Savoir résoudre une équa. diff. linéaire du 2nd ordre sans second membre (solution)   Savoir

positif tel que 0 < α < . 2 On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 2π, telle que :   f (t ) f (t )  f (t ) = = = 1 0 −1 si si si 0 t α α < t < π−α π−α t π 1. Dans cette question, le nombre réel α vaut π . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 2π]. +∞ n=1 2. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f On note S(t ) = a0 + (an cos(nt ) + b n sin(nt )). Le but de cette question

division euclidienne de polynˆmes) o o a e e e e 4. On consid`re l’ensemble P des polynˆmes (` coefficients r´els) de degr´ inf´rieur ou ´gal e ` 3 de la variable r´elle x. a e (a) Montrer que P est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R. (b) Donner une base de P. (c) En d´duire la dimension de P. e 5. Algorithme de H¨rner o Soit p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an−1 xn−1 + an xn et c ∈ R. On d´finit la suite (bk )k=0,...,n e par bn = an bk = bk+1 c + ak ∀k

Pise (environ 55 m). On néglige les frottements. 1) Quelle considération permet d’évoquer l’absence de frottements? La pierre est en « chute libre», elle n’est donc soumise qu’à son poids. 2) Etablir l’évolution de l’énergie potentielle en fonction de la hauteur h parcourue par la pierre depuis le sommet de la tour. Avec une origine placée en haut de la tout et un axe vertical dirigé vers le bas, on obtient : Ep = Epf - Epi = - m g h – 0 = 0 3) En posant la conservation de l’énergie

générale pour calculer l'argument principal d'un nombre complexe non nul : D'après les relations métriques dans le triangle rectangle OHM (voir figure ci-dessous), on a : é pù Cas où q Î ê 0; ú : ë 2û cos(q) = OH a = Z OM et sin(q) = HM b = OM Z OH a < 0 (-a ) a HM b ùp ù Cas où q Î ú ; pú : cos(q) = -cos(p - q) = = = et sin(q) = = Z OM Z OM Z û2 û Axe des imaginaires purs Axe des imaginaires purs b |Z| ® M(Z) M(Z) |Z| b e2 O ® q = arg(Z) H a Axe des réels H a p-q

Exercices de math´matiques MPSI et PCSI e par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st Table des mati`res e 1 G´n´ralit´s sur les fonctions e e e 2 Continuit´ e 3 D´rivabilit´ e e 4 Fonctions de classes Ck 5 Bijections 6 D´veloppements limit´s e e 7 Groupes, anneaux, corps. 8 Polynˆmes o 9 Fractions rationnelles 10 Arithm´tique e 11 Nombres complexes. 12 Suites 13 Suites un+1 = f (un ) 14 Ensembles 15 Espaces vectoriels et applications lin´aires e 16 Familles g´n´ratrices, libres, bases. e e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Applications d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.3 Applications r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6. Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7. Formule de Taylor-Lagrange et d´eveloppements limit´es

réelles pour un processus réel, à valeurs dans RK pour un processus réel vectoriel. La spéci…cité d’ processus stochastique réside dans cette structure de fonction de deux variables un X(t; !) que nous écrirons souvent Xt (!). Dé…nition 1.6 A ! 2 …xé, la fonction X: (!) de t est appelée réalisation ou trajectoire du processus. A t …xé, la fonction Xt (:) de ! est une variable aléatoire. (sans i avant les ll) est l’ des 4 Bernoulli : le premier Jakob (suisse 1654-1705) francisé Jacques a travaillé

CCP PSI 1 un corrig´ e 1 1.1 Une ´tude de s´ries. e e Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant