Cos Et Sa Fonction

1 1 1 = 2+ 2 2 Z2 R ω ⋅L La formule finale de l'impédance est : Z= 1 Z= 1 1 + R2 X L2 1 1 1 + R2 X L2 Calcul de l'angle de déphasage : I cos ϕ = R Iz cos ϕ = 1 cos ϕ = R 1 Z ϕ = cos −1 ç cos ϕ = IR ÷ Iz G Y Z R G ϕ = cos−1ç ÷ Y Z ϕ = cos −1ç ÷ R Exemple Un circuit est composé d'une résistance de 220 [Ω] et d'une bobine de 150[mH]. Il est raccordé sur une source de 100 [V] dont la fréquence est de 160 [Hz] Calculer

civil Métropole juin 2007 E XERCICE 1 4 points 2. Il faut trouver une fonction g telle que g (x) = A cos π x+B sin π x et donc g ′ (x) = 2 2 −A π sin π x + B π cos π x et vérifiant 2 2 2 2 2 1 1 A cos π 2 + B sin π 2 = 2 2 2 1 0 −A sin π 1 + B cos π 2 = 0 2 2 2 1 1 A +B = 1 ⇒ 2B = 1 ⇐⇒ B = et donc A = . −A + B = 0 2 2 1 1 Donc g (x) = cos π x + sin π x. 2 2 2 2 1. On sait que les solutions sont de la forme y = A cos πx + B sin πx, A ∈ R, B ∈ R. g g′ 1 2 1 2 = = 2 2 ⇐⇒ ⇐⇒

Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n 1. ∑+∞ n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n C2n n nn z (ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b) n4 n z ∈ (R∗+ )2 Correction [005745] Exercice 2 Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence

rédaction et la présentation du devoir. Tous les résultats doivent être encadrés ou soulignés. Exercice 1 : (In)équations 1. Résoudre dans l’intervalle [−π, π] l’inéquation 8 cos3(x) > 6 cos(x)− 2. On remarquera que X = 0.5 est une racine du polynôme 8X3 − 6X + 2. 2. Résoudre dans R l’équation : cos ( 2x− π 3 ) = sin ( x+ π 4 ) . Une représentation graphique de l’ensemble des solutions est attendue. 3. Résoudre dans R l’équation x √ x = ( √ x) x . (Aide : on utilisera pour a > 0 et

Chap 7 Courbes param´tr´es e e 1 Pr´liminaire : Fonctions ` valeurs vectorielles e a E2  R2 est muni du produit scalaire et de la norme usuels. D´finition. Soit I un intervalle de R. Soit f : I Ñ R2 e . On dit que f a pour limite t ÞÑ pxptq, y ptqq en a si et seulement si : }f ptq ¡ } ÝÝÑ 0 t  p 1, 2q Ña 1 2 Propri´t´. f tend vers e e en a si et seulement si : 6 8x t Rappel. On dit qu’une fonction est de classe C1 lorsqu’elle est d´rivable et que sa d´riv´e est continue

question de ce que l’on peut présenter à des étudiants BAC+2 en Electrotechnique pour qu’au moins ils aient une idée des performances comparées des différents types de variateurs, ceci pour leur permettre de faire un choix judicieux de matériel en fonction de l’application à mettre en œuvre. Ainsi, s’il s’agit de démarrer tous les matins un moteur asynchrone sans faire varier sa vitesse, le recours au contrôle vectoriel serait stupide ! La présentation théorique du variateur en U/f ne pose pas de problème

centre (0, 0) et de rayon 1. Le cercle C sera param´tris´ par : e e   x = cos t y = sin t γ(t) :  t ∈ [0, 2π] Par d´finition, on pose e 2π I V · γ (t) dt = = C 2π I = 0 0 cos t − sin t (− sin t) + cos t − sin t cos t dt 1 − 2 sin t cos t dt = 2π 49 ´ CHAPITRE 6. FORMULES INTEGRALES 50 6.1.2 Th´or`me : Travail d’un champ de gradient e e Soit f : R3 → R une fonction diff´rentiable sur un ouvert U de R3 , et soit e −→ − V = grad f son champ

6 (b) D’apr`s les th´or`mes usuels, ϕ est de classe C 1 sur [−π/2, π/2] \ {0}. D’apr`s la e e e e question pr´c´dente, ϕ est continue et d´rivable en 0. Il reste ` montrer que ϕ est e e e a continue en 0. Or : π π ∀t ∈ − , \ {0} 2 2 ϕ (t) = − 1 cos t + t2 sin2 t e e e Donc k − 2 = 4. Il est donc n´cessaire d’effetcuer un d´veloppement limit´ de sin t ` l’ordre 6. a 1 1 sin t = t − t3 + t5 + o t6 t→0 3! 5! Donc : 1 1 1 = 1 sin t t 1 − 1 t2 + 120 t4 + o (t5 ) 6 t→0 On cherche la limite de

dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit 𝑓 : ]−1,+∞[ → ℝ la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 √1 + 𝑥2 − √1 + 𝑥 Déterminer les limites de 𝑓, si elle existent, en 0 et en +∞. Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit 𝑓 : ℝ∗ → ℝ la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥𝐸 (𝑥 − 1 𝑥 ) Montrer que 𝑓 admet une limite en

(E) est une fonction autant de fois dérivable que nécessaire, définie sur un intervalle, de R et qui vérifie (E) Exemple 1.1 la fonction exponentielle est une solution sur R de l’équation différentielle y − y = 0. Exemple 1.2 La fonction définie par 1 x est une solution sur R+∗ de l’équation différentielle y − 2y 3 = 0 Définition 1.1 On appelle équation différentielle linéaire une équation différentielle de la forme N (E) : n=0 an y (n) = b où les an et b sont des fonctions à valeurs