Cos Et Sa Fonction

ces vecteurs ont des composantes (xu , yu , z u ) et (xv , yv , z v ) dans une base orthonormée on a : u · v = xu xv + yu yv + z u z v . Si les vecteurs u et v font un angle u (figure 1.2), on a : u· v = u v cos u. Dans le cas où les deux vecteurs ont une norme unité, on a alors : u · v = cos u. Les principales propriétés du produit scalaire sont : • • • qu’il est symétrique u · v = v · u ; qu’il est distributif sur l’addition des vecteurs u · (v + w) = u · v + u · w ; que deux vecteurs non

Fiche 2 : les fonctions Plan de la fiche I - Limites, comportement asymptotique II - Dérivation III - Continuité I - Limites, comportement asymptotique Définitions Une fonction f a pour limite + ∞ en + ∞ lorsque : • la fonction f est définie sur un intervalle illimité à droite ; • tout intervalle illimité à droite contient toutes les valeurs prises par la fonction, la variable étant suffisamment grande. On note lim f = + ∞ ou lim f (x ) = + ∞ . +∞ x → +∞ Une fonction f a pour limite

année Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles Dans tout le formulaire, les quantitées situées au dénominateur sont supposées non nulles Dérivées des fonctions usuelles Dans chaque ligne, f ′ est la dérivée de la fonction f sur l’intervalle I. f (x) I f ′ (x) λ (constante) R 0 x R 1 xn (n ∈ N∗) R nxn−1 1 x ]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − 1 x2 1 xn où n ∈ N, n > 2 ]−∞, 0[ ou ]0,+∞[ − n xn+1 √ x ]0,+∞[ 1 2 √ x lnx ]0,+∞[ 1 x ex R ex sinx R cos x cos x R − sinx tan x i −π 2 + kπ, π 2 + kπ

on peut conjecturer que la suite u converge vers – 1. Ê1 - 5 ˆ ˘ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙ + -Á Á ˜ ˜ Ë 2 ¯ ˙˚ 5 ÍÎË 2 ¯ k k +1 k k +1 È Ê 1+ 5 ˆ Ê 1- 5 ˆ ˘ Ê 1- 5 ˆ 5 ÍÊ 1 + 5 ˆ ˙ uk + 2 = Á ˜ + ÁË ˜ - ÁË ˜ ˜ - ÁË 5 ÍË 2 ¯ 2 ¯ 2 ¯ 2 ¯ ˙ Î ˚ 175 2. a) La fonction ln est croissante sur ]0 ; + ∞[ donc sur È k k + 1˘ Í n ; n ˙, (n nombre entier naturel non nul et k nombre Î ˚ entier naturel , 1  k  n - 1). Ainsi : k k +1 ln  ln x  ln . n n L’intégrale conserve les inégalités : k +1 k +1 k +1 k +1 n ln k

I Logique et raisonnement VIII Combinatoire et probabilités II Calcul algébrique Mathématiques par Stéphane Perret Version 3.001 V Géométrie III Trigonométrie IV Fonctions VI Continuité, comportement asymptotique et dérivée VII Calcul intégral Table des matières I Logique et raisonnement principes de base de la logique Le principe de non-contradiction . . . . . . . . . Le principe du tiers exclu . . . . . . . . . . . . Les implications . . . . . . . . . . . . . .

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

La fonction sinusoïdale On a vu ce qu’était une onde et quels étaient les paramètres qui la caractérisaient, afin d'illustrer les phénomènes d'interférences que provoque l’addition ou plutôt la superposition d’ondes sonores nous allons modéliser les ondes sonores par des fonctions sinusoïdales . En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions dont la variable est une mesure d'angle. Elles permettent de relier les longueurs des côtés d'un triangle en fonction de la mesure

avec (x, y) ∈ R2 tel que e (x + i y)2 = a + i b. • on identifie les parties r´elles et imaginaires, ce qui conduit au syst`me suivant d’inconnues (x, y) : e e x2 − y 2 2xy = = a b Ce syst`me peut alors se r´soudre en exprimant y en fonction de x ` l’aide de la deuxi`me ´quation et en susbtituant e e a e e l’expression trouv´e dans la premi`re ´quation. e e e On ne proc`dera pas ainsi. Au lieu de la deuxi`me ´quation, on tirera partie de l’´quation des modules |ω 2 | = |z| :

programme a 1. RELATIONS FONCTIONNELLES ln(ab)=ln a + ln b, o` a > 0 et b > 0 u eit = cos t + i sin t exp(a+b) = exp a × exp b t =e α α ln t 1 2 1 2i cos t = sin t = eit + e−it , ch t = eit − e−it , sh t = , o` t > 0 u 1 2 1 2 (et + e−t ) (et − e−t ) cos(a+b)=cos a cos b - sin a sin b sin(a+b)=sin a cos b + cos a sin b cos(2t) = 2 cos2 t − 1 = 1 − 2 sin2 t sin(2t)=2 sin t cos t eat = eαt (cos(βt) + i sin(βt)), o` a = α + iβ u 2. CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL a. Limites usuelles

point M majuscule atteint par l’onde issue de la source S1, l’expression du signal d’amplitude A1 peut s’écrire à la date t minuscule, sous la forme : s1(t) = A1 cos( 2π T t) Au point M majuscule atteint par l’onde issue de la source S2, l’expression du signal d’amplitude A2, s’écrit à la date t minuscule, sous la forme : s2(t) = A2 cos( 2π T (t − τ)) Avec τ le retard pris par l’onde issue de S2 par rapport à celle issue de S1 du fait de la différence de distances delta minuscule (δ), appelée