Cryptographie symétrique

triangulaire supérieure si les éléments éventuellement non nuls sont au-dessus de la diagonale. (c’est-à-dire si i > j aij = 0), triangulaire inférieure dans le cas contraire. 6.5. Matrice symétrique A est une matrice symétrique si elle est égale à sa transposée tA, et est antisymétrique si A = -tA. A est symétrique A = tA aij = aji (i, j) A est antisymétrique A = -tA aij = - aji (i, j) et en particulier aii = 0 7. MATRICES INVERSIBLES Une matrice carrée A d’ordre n, est inversible

⎡λ11 λ21 ⎤ 2 . . Par multiplication directe, 25 = λ11 de sorte que ⎢ 7 13⎥ = ⎢λ λ22 ⎥ ⎢ 0 λ22 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 21 ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 λ11 = 5. Alors, λ11λ21= 7, de sorte que λ21 = 7 / 5 = 1,4. Finalement, λ21 + λ22 = 13, donc λ22 = 3,322. Exercice 10 Une matrice symétrique définie positive, A, peut aussi être écrite comme A = UL, avec U une matrice triangulaire supérieure et L = U′. Ce n’est néanmoins pas la décomposition de Cholesky. On obtient cette décomposition de la matrice dans l’exercice 9. En utilisant la

maths.txt Propriétés des matrices triangulaires[modifier] Une matrice triangulaire à la fois inférieure et supérieure est une matrice diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires inférieures (respectivement supérieures) est une matrice triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Plus généralement l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une sous algèbre (non commutative) de Mn(K), ensemble des matrices de taille n a valeur dans le corps K. La transposée

variance 35 1 ¯ On note s2 = n n (xj − xj )2 la variance de la variable j, sa racine carré sj est l’écart-type et j i=1 i 1 k vkl = n n (xi − xk )(xl − xl ) est la covariance des variables k et l. ¯ ¯ i i=1 On appelle matrice de variance la matrice symétrique V contenant les variances s2 sur la diagonale j et les covariances vkl en dehors de la diagonale (ligne k colonne l pour vkl ). Cette matrice s’écrit : V = 40 1 t 1 X X − gg t = Y t Y. n n (2) 45 50 De même, on définit le coefficient

 la transposée  , sera de dimension  .  ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ A ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ Propriétés : Soit   et   deux matrices et   un scalaire    1. A B A B 2. A A  3. kA kA   4. A B B A      est une matrice carrée symétrique et les éléments  Pour toute matrice  , le produit  de sa diagonale principale sont non négatifs.  Page 3 sur 7   Trace d’une matrice carrée d’ordre n,   (notée  Somme des éléments de la diagonale principale i.e. tr A  

pour les complexes) Définition A': a 'ij = a ji 1 0   0    0 1  In =           1 0  0   0 1   Propriétés ( A')' = A; ( A + B)' = A'+ B' ; ( AB)' = B' A' ; (kA)' = kA' ; −1 ' si A est carrée : A = ( A')−1 A est symétrique ssi A’=A ( ) Permutation p associé à la matrice P (changement de base de ei à ep(i)) 0 0 0 1   i 1 2 3 4  0 1 0 0  P −1 = P' ; A' = P −1 AP ; P= p(i ) 3 2 4 1 1 0 0 0  0 0 1 0    Opérations sur les matrices Changement de

système linéaire : la méthode de Cholesky. L’objectif est de construire pour une matrice A symétrique définie positive une matrice triangulaire L telle que A soit égale au produit de la matrice triangulaire L et de la transposée de cette dernière. La factorisation de Cholesky, consiste, pour une matrice symétrique définie positive , à déterminer une matrice triangulaire inférieuretel que . Une matrice symétrique est dite définie positive si, pour tout vecteur , le produit est positif. La matrice est

espace donné par la direction). Pour une symétrie, il y a deux valeurs propres 1 et −1. Pour la valeur propre 1, on a ϕ (M ) = M si et seulement si M est une matrice symétrique, et de même ϕ (M) = −M si et seulement si M est antisymétrique. On sait que si Sym (C) et Asym (C) représente respectivement le sous espace des matrices symétriques et antisymétriques, alors Sym (C) ⊕ Asym (C) = E. Dans la base de E constituée d’une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels, la matrice de ϕ est   1 0 ···

supérieure (respectivement inférieure) . III. Les matrices symétriques : Une matrice carrée A est dite symétrique si elle est égale à sa transposée : Propriétés des matrices symétriques : 1) La somme de 2 matrices symétriques est une matrice symétrique. 2) Le produit d’une matrice symétrique par un nombre est une matrice symétrique. 3) ATTENTION : Le produit de 2 matrices symétriques n’est pas toujours symétrique. IV. Les matrices semblables : Deux matrices A et B carrées

Matrice diagonale Une matrice est dite diagonale, si et seulement si, tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale. Matrice diagonale  Matrice triangulaire à la fois supérieure et inférieure. Matrice symétrique Une matrice est dite symétrique par rapport à sa diagonale principale (ensemble des tels que i=j) si  i  j =. Exemple : Matrice identité La matrice identité est diagonale et ne comporte que des 1 sur sa diagonale. Matrice