Cryptographie symétrique

Chapitre I. G´n´ralit´s sur les espaces vectoriels. e e e Marc de Crisenoy Convention: dans tout le cours, K d´signe un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C). e § G´n´ralit´s. e e e D´f. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´t´s suivantes: e ee (E,+) est un groupe ab´lien e . est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est not´e λ.x). e ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x ∀α, β ∈ K

strictement positives, donc la matrice A est une matrice symétrique définie positive. On peut appliquer l’algorithme de Cholesky pour résoudre le système linéaire A Uh =b (on néglige le vecteur ε). Description de la méthode de Cholesky : Cette méthode s'applique uniquement aux matrices symétriques définies positifs et permet la factorisation unique A= RRT où R est une matrice triangulaire inférieure. Théorème : Soit A une matrice symétrique inversible, alors A est définie positive si et seulement

En voici un exemple de calcul des variances ! | |Delphi |Yazaki |Lear | |A |7 |6 |7 | |B |6 |4 |5 | |C |3 |3 |6 | |D |1 |6 |6 | |E |4 |7 |7 | |total

THÉORÈME DE CAYLEY Théorème Tout groupe G, d'ordre n, est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique Sn. Démonstration : Nous allons montrer que G est isomorphe à un sous-groupe de Bij (G) (groupe des bijections de G dans lui même) On note multiplicativement la loi de G. 1. Soit g ∈ G. On considère l'application suivante : ϕg : G x →G gx   (On dit que l'on a fait opérer G sur lui même par "translation à gauche") ϕg n'est pas un morphisme de groupes. Cependant ϕg est bijective

triangulaire sup et inf. Matrice scalaire : matrice diagonale où tous les nombres sont identiques Matrice Identité : Tous les éléments de la diagonale principale sont égaux à 1 (donc aussi scalaire) aij = 0 si i  j ET est = 1 si i = j Matrice symétrique : chaque côté de la diagonale principale sont miroir : aij = aji Matrice Antisymétrique : chaque côté de la diagonale principale DONT TOUS LES ÉLÉMENTS SONT NULS (0) sont miroir -1 : aij = -aji Définition s’y rattachant : Diagonale principale

e . On appelle symétrique d'un élément a de E , lorsqu'il existe, un élément a ' de E tel que : a ∗ a ' = a '∗a = e . • • • • Lorsque cet élément a ' est unique, l 'élément a est dit symétrisable. Si la L.C.I. est associative, alors le symétrique de a , lorsqu’il existe, est unique. a ' est le symétrique de a ssi a est le symétrique de a ' . Le symétrique du composé de a par b est égal au composé du symétrique de b par celui de a : ( aTb)' = b' Ta ' . Exemples : • Le symétrique d'un élément a

vectoriel des matrices à n lignes et à une colonne. Pour une matrice A de Mn ( ! ) , t A est sa matrice transposée, rang ( A) son rang et Tr ( A) sa trace. In : la matrice unité de Mn ( ! ) . S n ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de Mn ( ! ) . An ( ! ) : le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques de Mn ( ! ) . S n + ( ! ) : l’ensemble des matrices positives de S n ( ! ) c’est-à-dire des matrices A de S n ( ! ) vérifiant : pour toute matrice X ∈ Mn ,1 ( ! ) ,

du jack) et deux signaux (canal gauche sur la pointe et canal droit sur l'anneau). stéréo avec un anneau supplémentaire pour porter un signal vidéo ou un signal de contrôle par fil sur un baladeur Un jack 3 contacts peut aussi être une liaison symétrique monophonique (comme en XLR). Cette formule est très utilisée dans les équipements professionnels. Il ne peut pas être utilisé comme une liaison asymétrique stéréo, et inversement. Le jack 3 contacts est aussi utilisé pour la fonction « Insert »

et un scalaire λ alors B = λ A, bij = λ.aij. III.Décomposition d’une matrice carrée en 2 matrices, l’une symétrique et l’autre antisymétrique A/ Définition Une matrice A est dite symétrique si pour tout i et j, aij = aji. Une matrice B est dite antisymétrique si pour tout i et j, bij = -bji et bii = 0. B/ Décomposition Toute matrice M se décompose d’une façon unique en A symétrique et B antisymétrique. aij = (mij + mji) bij = (mij – mij) 2 2 C/ Transposition des matrices On appelle matrice

relations de base On sait que le comportement dynamique des structures mécaniques conservatives peut être représenté par l’équation matricielle suivante : M y(t)+ K y(t) = f(t) (2) 1 où M et K sont respectivement les matrices réelles symétriques Masse et Raideur de dimension (n , n) ; M Supposée définie positives, K non négative. f(t) représente le vecteur des forces excitatrices. En régime harmonique, f(t)=f.e , où s=j , étant la pulsation de la force excitatrice, j = -1. La