Décomposition arborescente

de −7 (ou de 7) étant {−7 ; −1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n − 4 si et seulement si n + 1 appartient à {−7 ; −1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {−8 ; −2 ; 0 ; 6}. Exercice 3 : Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide. Correction Avec l’aide de Maple on a immédiatement : > ifactor(1640); ifactor(492); ( 2 ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 22.41 = 164 . Avec Euclide :

4/ 6 Troisième Exercice 19 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il s’agit d’un nombre premier : 173 ; 1 900 ; 600 ; 650 ; 344 ; ◮2. En déduire le PGCD et le PPCM des nombres 600 et 1 900. ◮3. Quel est le plus petit nombre par lequel il faut multiplier 344 pour obtenir un carré parfait ? 600 irréductible. ◮4. Rendre la fraction 1 900 37 7 + . ◮5. Calculer 600 1 900 Exercice 20 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants

complexe i. Instructions associées aux complexes: evalc(…); Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation: P:= x+1; eval(P,x=2); Factorisation: factor(x^3 – y^3); Simplification: simplify(…);

Devoir maison 3 Exercice 1. Soit P la parabole d’équation y = x2 et A le point de P d’abscisse 1. On s’intéresse à l’intersection de P avec les droites du plan passant par le point A. 1. Soit m un réel. Montrer que la droite Dm de coefficient directeur m passant par A admet pour équation y = mx − m + 1. 2. Tracer P, D0 , D1 , D2 , D−1 et D−3 . 3. Conjecturer graphiquement la valeur de m telle que P et Dm aient un unique point commun. 4. (a) Quelle équation doit-on résoudre pour déterminer les points

II. Identités remarquables 1. Carré d'une somme Propriété : Pour tous nombres a et b, on a : (a + b)² = a² + 2ab + b² Démontrons ce résultat : * par le calcul, en utilisant la double distributivité : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² * en utilisant la géométrie : Lorsque a et b sont deux nombres positifs, on peut établir l'égalité en considérant la figure ci-dessous : factorisation, développement, identités remarquables

> a est non premier avec p : cad qu’ils ont un diviseur commun différent de 1. Mais p étant premier, ce diviseur commun est forcément p ! Donc p divise a et même p divise a p donc on a bien a p ≡ a ( p ) (car congrus à 0 tous les deux). 3. La décomposition de 42 en produit de facteurs premiers est 42 = 2 × 3 × 7 : nous allons prouver que chacun de ces termes divise a 7 − a puis nous allons utiliser une conséquence du théorème de Gauss : (P) : « si (b|n et c |n avec pgcd(b ,c) = 1) alors bc | n »

Nombres Premiers ­ Un entier naturel n est premier si n 1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n. ­ D´composer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´crire sous la forme d’un e e produit de puissances de nombres premiers distincts. D´finitions : e Exemples : ­ 105 = 3 ¢ 5 ¢ 7. e 3 ¢ 5 ¢ 7 est la d´composition en produit de facteurs premiers du nombre 105. ­ 99 = 9 ¢ 11 = 32 ¢ 11 ­ 600 = 8 ¢ 3 ¢ 25 = 23 ¢ 3 ¢ 52 23 ¢ 3 ¢ 52 est la d´composition en produit de

Techniques de base I. Mettre au même dénominateur : But : pour ( effectuer des calculs ex [pic] ( simplifier des expressions ex [pic] Et surtout ( étudier le signe d’une expression Méthode : Trouver le dénominateur commun (le plus petit multiple commun aux dénominateurs) Réduire les fractions à ce même dénominateur commun Calculer Ex : [pic] ; [pic] [pic] Remarques : ( multiplier une fraction par un nombre

CHAPITRE 1 : MAITRISER LES TECHNIQUES DU CALCUL ALGEBRIQUE LUNDI 1ère semaine Fractions Addition de fractions "avec des x" Exemple : Exercice 1 : Effectuer les additions suivantes, en cherchant le plus petit dénominateur possible : Simplifier sans se tromper Simplifier une fraction ne signifie pas : "barrer ce qui est pareil en haut et en bas". On ne peut simplifier que ce qui est en facteur à la fois au numérateur et au dénominateur. Souvent, il faut donc factoriser avant de simplifier

2´meBac e EXERCICES D’ ARITHMETIQUE AU BAC Ann´e scolaire 2006-2007 e 1 Un mot avant de commencer EXERCICES D’ARITHMETIQUE POSES AUX ANCIENS EXAMENS DU BACCALAUREAT MAROCAIN Mohamed AIT LHOUSSAIN 6 f´vrier 2007 e J’aimerai juste signaler que ce document vient de naˆ et que tout le monde pourra contribuer pour lui donner ıtre sa forme d´finitive.Ceci se fera en le revisant pour detecter e les ´ventuelles erreurs de frappe car une seule personne detcte e moins qu’un ensemble de personnes