Décomposition arborescente

\Exercice 1 Écrire un programme Pascal qui détermine puis affiche le nombre de combinaisons de p objets parmi n. n et p sont deux entiers naturels strictement positifs (avec n >= p). La solution doit comporter une fonction intitulée FACTORIEL (x) qui détermine la factorielle de x (x ! = x * (x-1) * (x-2) * …. * 3 * 2 * 1). Exercice 2 Ecrire un programme qui calcule le PPCM de deux nombres a et b Exercice 3  Écrire un programme qui permet de décomposer en facteurs premiers un entier n lu au

Les Entiers Naturels Un entier naturel est un nombre ≥ 0 qui ne possède pas de décimal après la virgule. Par exemple, le nombre 12. L’ensemble de tous les entiers naturels est représenté par la lettre capitale grasse N. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} Lorsqu’on effectue des opérations mathématiques avec des entiers naturels (addition, soustraction, division, multiplication), il est important de respecter l’ordre des opérations. Les multiplications et les divisons on toujours priorité sur les

Liaison 3ème/2nde Cahier de Vacances de MATHÉMATIQUES Ce document a été élaboré par des enseignants des collèges Romée de Villeneuve, Jules Verne de Cagnes sur Mer et du lycée Renoir (par ordre alphabétique : Mme Aicart, M. Crézé, Mme Faraud, M. Pascal, Mme Turki) Ce petit cahier de vacances a pour objectif de te permettre d’aborder au mieux ton année de seconde si tu consacres un peu de temps à la recherche de ces exercices allant de l’assez facile au plus difficile (* pour « assez facile », **

Correction Ex 2, 4, 6, 10 TD STRUCTURES MULTIPLICATIVES Exercice n°2 : 1) La liste des nombres considérée est 38 ; 38 + 17 ; 38 + 27 ; ……; 38 + k7 (avec k entier naturel) ; … Or 38 + 7k  365, d'où 7k  327, et donc k  46,7…… La plus grande valeur pour k est donc 46, et le plus grand nombre de la liste est donc 38 + (746) = 360. De 38 + (70) à 38 + (746), il y a 47 nombres (k prend les valeurs 0 , 1 , 2 , ……, , 46). 2) 38 + (746) = 360, 38 + (747) = 367 donc tant que l'on choisit

c'est-à-dire a ≡ a [mod p ] p Petit théorème de Fermat : Si p est premier et a un entier naturel alors p divise a − a , p Preuve : Montrons tout d’abord que pour tout entier k tel que1 ≤ k ≤ p − 1 , p divise   k     p  p  p p!  = donc   k ! ( p − k )! = p × ( p − 1 )!    k  k ! ( p − k )! k     p donc p divise   k ! ( p − k )! k    or p est premier avec k ! ( p − k )! ( sinon (Gauss) il diviserait l’un des facteurs du produits ce qui n’est pas possible

Le calcul littéral inclut des lettres dont on ne connait pas la valeur et c’est pour cela qu’on doit les laisser telles qu’elles. Une lettre est une valeur inconnue : on ne peut donc pas effectuer les calculs comme si on avait que des chiffres . Il existe des règles d’écriture qui sont uniquement des conventions mais qu’il faut respecter : La suppression du signe (x) devant une lettre ou une parenthèse. L’écriture de la lettre inconnue après le chiffre. Ex : a x 3  3a La

classique bien optimisée, sous réserve de disposer d’un registre quantique de taille suffisante pour les calculs. En résumé, des circuits de calcul quantique apporteraient un plus aux ordinateurs classiques dans quatre types d’applications : • décomposition en produit de facteurs premiers ; • calcul de logarithme discret ; • simulations de physique quantique ; Calculateur quantique • recherche dans une base de données. 3 Historique Dans les années 1970 et 80, les premiers ordinateurs quantiques

au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs Définition Soit a et b des entiers relatifs. Lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb on dit que : • a est un multiple de b ; • b divise a ;

à la fois a et b. On le note PGCD (a ; b). Ex. : 6 et 10 sont tous les deux divisibles par 2. 2 est seul diviseur commun à 6 et 10. 6=2×3 10 = 2 × 5 PGCD (6 ; 10) = 2 1° Décomposition en produit de facteurs premiers Tout nombre entier est le produit de nombres premiers. Pour obtenir cette décomposition, on le divise tour à tour par les nombres premiers dans leur ordre croissant. Ex. : 1 8 9 4 1 0 0 5 5 5 1 2 2 3 3 5 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 180 = 2² × 3² ×5

99 100 Consigne 6 : reconnaitre un nombre premier 1) Justifie que 143 n’est pas un nombre premier 2) Justifie que 163 est un nombre premier 3) Lequel de ces deux nombres est décomposable en un produit de facteur premier ? Consigne 7 : décomposition d’un nombre Décompose en produit de facteur premier les nombres suivant : 90 ; 45 ; 120 ; 95 ; 125 ; 160. Consigne 8 : puissance d’un nombre entier naturel. Décompose les nombres 8 et 81 en produit de facteur premier. Calcul l’aire A