Degré

rentabilité Ici on a 2 méthodes possibles pour trouver : qui est atteint au minimum de . 1ère possibilité et la plus courte : (Faisable que si ( ) est un polynôme du 2nd degré ! De la forme : ( ) ) On sait que le minimum d’un polynôme du second degré est atteint en , et ( ) étant un polynôme du second degré on peut appliquer ça. Il est atteint pour 2ème possibilité: On sait aussi que le minimum du ( ) . est atteint quand . On voit bien que la 1ère méthode est infiniment

contraire) c – Selon tableau de variation pour x  3 ; 4 on a : D’où : 1 1 1  t ( x)   . 10 x²  x  2 4 1 2 1   . (on multiplie par 2 > 0, l’ordre est conservé) 5 x²  x  2 2 Exercice 4: On sait qu’une fonction trinôme du second degré ( f ( x)  ax²  bx  c avec a  0 ) admet un minimum si a > 0 et si a < 0 elle admet un maximum. Dans les deux cas l’extrémum est atteint en –b/2a égale à: f(-b/2a). D’où l’algorithme qui permet de déterminer le minimum ou le maximum : Lire a Lire

Accueil | L'Essentiel | Les Annales | Hors Programme | Documents | Logiciels | Bibliographie | Liens | Livre d'Or Nombres Entiers | Calcul numérique | Puissances | Racines carrées | Calcul littéral | Équations–Inéquations Équations du second degré | Systèmes de 2 équations | Fonctions linéaires et affines | Grandeurs composées | Statistiques Systèmes d'équations Définition Résoudre un système d'équations, c'est trouver toutes les solutions communes aux deux équations.

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s’écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à la forme canonique n’est pas au programme de la classe de seconde, mais reconnaître la forme canonique d’une fonction polynôme de second degré donnée sous forme développée est au programme. Exemple : Soit  la fonction polynôme définie sur I = [ 5 ;5] par u 3 ² 6 1. Montrer que

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = =

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions :

interprétation 1-3 : Construction géométrique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées 1-6 : Dérivées et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polynômes 2-9 : Second degré 1 (c) 2-10 : Second degré 2 (c) 2-11 : Second degré 3 (c) 2-12 : 3ème degré 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14 : Hyperbole 1 (c) 3-15 : Tangente (c) 3-16 : Rationnelle 1 (c) 3-17 : Rationnelle 2 (c) 3-18 : Rationnelle 3 (c) 3-19 : Rationnelle 4 (c) 3-20 : Rationnelle

1ère ES. Second degré et applications Exercice 1 Résoudre dans [pic] les équations et inéquations suivantes : a) [pic] b) [pic] c) [pic] d) [pic] Exercice 2 La façade d’une bibliothèque est composée de 3 panneaux carrés tels que chaque côté mesure 60 cm de plus que le précédent. Déterminer le côté de chaque panneau sachant que la superficie de la façade est de 3,72 m². Exercice 3 Dans le repère ci-dessous a été représentée la courbe (C) d’équation [pic]. 1°) Dans ce repère,

= S1 = 1+2+3+· · ·+n = Calcul de S1 On considère la fonction trinôme du second de degré f1 définie par f1 (x) = x2 x − . 2 2 1. Calculer f1 (1). 2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f1 (x + 1) − f1 (x) = x (I). 3. En écrivant l’égalité (I) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que : S1 = n(n + 1) 2 Calcul de S2 On considère la fonction polynôme de degré 3 f2 définie par f2 (x) = x3 x2 x − + . 3 2 6 1. Calculer f2 (1). 2. A l’aide

- 8 = 0 4. x 3 + x 2 + x + 1 = 0. Exercice 2 (4 points) On donne le trinôme du second degré P défini sur  par : P(x) = 4 x 2 - ( 6 + 4 3 )x + 3 2 1. Montrer que P admet 6 pour racine. 4 2. Trouver l'autre racine (en valeur exacte). Exercice 3 (4 points) On considère la fonction P définie sur  par P(x) = (x +1) – (4x + 2) . 2 2 2 1. Montrer que P est une fonction polynôme dont on précisera le degré. 2. Résoudre l'équation P(x) = 0. Exercice 4 (2 points) Soit P la fonction polynôme définie