Degré

SECOND DEGRE (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur [pic]par une expression de la forme : [pic] où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec [pic]. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : - [pic], - [pic], - [pic] - [pic] sont des fonctions polynômes

nombre n est appelé le degré du monôme. • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3 • -2 / x n'est pas un monôme • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3 Définition : Une somme de plusieurs monômes est un polynôme. • • • • 3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré -x3 + 4x - 9 est un polynôme du 3 ème degré 2x + 1 est un polynôme du 1 er degré 3 est un polynôme de degré 0 Remarque : A un polynôme, on peut associer la fonction II. Le second degré Définition : On appelle

POLYNOMES DU SECOND DEGRE I) Polynômes Définitions : Soit a un nombre réel non nul et n un entier naturel. • La fonction f définie sur R par f ( x ) = axn est une fonction monôme de degré n. L’expression ax n est appelée monôme de degré n. • On appelle fonction polynôme, une somme de fonctions monômes. • On appelle degré d’un polynôme, le degré le plus élevé de la variable x. Exemples : II) Fonction polynôme du second degré Définition : On appelle fonction polynôme du second degré ou trinôme, toute

Déduire à partir des variations de la fonction « carré » les variations d’une fonction polynôme de degré 2. Les variations de la fonction carré (décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; + [) étant connues et écrites dans le cours, on a le droit de les utiliser dans un exercice sans le redémontrer. Elles permettent de justifier qu’une fonction qui « ressemble » à la fonction carré (comme , ; ou un intervalle. a) b) c) d) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. Montrer que la

= ?(??) = Valeur prise par ? −6 ?2 (10 + ?)2 Probabilité 5) Montrer que ?(?) = −1 20? (10 + ?)2 4 100 (10 + ?)2 40−6? 10+? ?2 20? 100 −6?2 − 20? + 400 − 1 × + 4 × = (10 + ?)2 (10 + ?)2 (20 + ?)2 (10 + ?)2 2 Considérons le trinôme du second degré −6? − 20? + 400. Calculons son discriminant : Δ = ? 2 − 4?? = (−20)2 − 4 × (−6) × 400 = 400 + 9600 = 10000 Puisque le discriminant est positif, alors le polynôme admet une forme factorisée : −? − √Δ 20 − 100 −80 20 −? + √Δ 20 + 100 120 ?1 = = = =

+ 1) 2 Page 3 sur 7 Lycée Camille SEE 2002 / 2003 DERIVATION T.ES b) Une tangente à la courbe parallèle à l’axe des abscisses a un coefficient directeur nul. On doit donc résoudre f’ (x) = 0. Or les racines du polynôme du second degré x 2 + 2x − 1 sont : x 1 = − 1 − 2 et x 2 = − 1 + 2 La courbe de f admet deux tangentes « horizontales » aux points d’abscisses : x 1 = − 1 − 2 et x 2 = − 1 + 2 V - DERIVEE ET VARIATIONS Dans ce paragraphe nous allons utiliser le signe de la dérivée

Chapitre 1: Second degré I - Fonction trinôme du second degré A - Rappels Définition On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction f définie sur ℝ par f  x =ax 2 bxc où a , b et c sont des réels et a≠0 B - Forme canonique Théorème 2 Pour tout réel x , on ax bxc=a   2 b b 2−4 ac x − 2a 4 a2  Cette forme est appelé forme canonique on note =b2−4 ac appelé discriminant Démonstration    b c ax bxc=a x   =a ax a 2 2    2 b b2 c x − 2  =a 2a 4a a 

Chapitre 6 Chapitre 6. Second degré Activités et applications 1. Fonctions polynômes de degré 2 Activité 1. a) Tracés sur l’écran d’une calculatrice. b) Les branches de P1 sont orientées vers le haut et le coefficient a de f1 est strictement positif. Les branches de P2 sont orientées vers le haut et le coefficient a de f2 est strictement positif. Les branches de P3 sont orientées vers le bas et le coefficient a de f3 est strictement négatif. Les branches de P4 sont orientées vers le bas et

CHAPITRE 1 : Second degré I. Polynômes du second degré et paraboles 1) Formes d’un polynôme du second degré Un polynôme de degré 2 de la variable réelle x s’écrit ax2+bx+c avec a, b, c réels et a≠0. (On parle aussi de trinôme de degré 2.) f : x  ax2+bx+c est une fonction polynôme de second degré, définie sur Un polynôme du second degré peut s’écrire sous 3 formes : - Développée : f(x)=ax2+bx+c (a≠0) - Canonique : f(x)=a(x-)2+  : alpha  : beta - Factorisée : f(x)=a(x-x1)(x-x2)

Polynôme du premier degré A] Equation du premier degré L’équation : ax + b = 0 admet comme solution unique si a ≠ 0 S = {- } a b B] Signe d’un polynôme du premier degré Soit le polynôme P(x) = ax + b, pour étudier son signe, il suffit de chercher la valeur qui l’annule et de dresser le tableau de signes : x P(x) -∞ Signe de –a b a +∞ Signe de a 0 Dès que vous avez une inéquation à résoudre, il faut obligatoirement faire une étude de signes. III] Polynôme du second degré A] Equation du