Dérivabilité

fi (x1 , ..., xn ) sont les p fonctions composantes de f . On veut généraliser pour ce type de fonctions les notions et résultats étudiés pour les fonctions réelles de la variable réelle vues en première année, à savoir : régularité (continuité, dérivabilité...), existence d’extrema locaux ou globaux pour les fonctions à valeurs dans Ê, intégrabilité... Pour cela, il sera nécessaire de préciser certains outils topologiques déjà plus ou moins abordés pour l’étude des fonctions de Ê dans Ê : norme, distances

purement théorique. Ce n’est qu’à l’arrivée de Norbert Wiener en 1923 qu’une construction mathématique rigoureuse a été fournit, en construisant une mesure de probabilité sur l’espace des fonctions continues réelles. Il a étudié la continuité et non-dérivabilité des trajectoires du mouvement brownien. Il définit également l’intégrale de Wiener l’intégrale par rapport au mouvement brownien. c’est pour cela qu’on l’appel parfois processus de Wiener. 5 1.3 1.3.1 Exemples Motivants Energie éolienne : De

compris entre −1 et 0. ▶  pour 168 © Cned - Académie en ligne Corrigé Séquence 4 – MA12 Chapitre 3 : Fonction dérivée, exemples des fonctions de référence Corrigés des activités du chapitre 3  Activité 1 ■ Pour étudier la dérivabilité de la fonction carré (notée f ) en a, a étant un nombre réel fixé, on étudie la limite du taux d’accroissement 2 f (a + h ) − f (a ) ( a + h ) − a quand h tend vers 0, h ≠ 0. = h h 2 Comme on étudie ce qui se passe quand h tend vers 0

prévisions tout en présentant l’avantage de ne pas exiger de restrictions statistiques. De plus, les algorithmes génétiques sont particulièrement robustes, notamment parce qu’ils ne sont pas soumis à des contraintes mathématiques telles que la dérivabilité ou la continuité des fonctions utilisées(35). Leur utilisation, principalement celle des algorithmes génétiques, reste exploratoire. Leur haut degré de technicité ne leur permettait pas de fournir d’éléments explicatifs clairs de la défaillance

prévisions tout en présentant l’avantage de ne pas exiger de restrictions statistiques. De plus, les algorithmes génétiques sont particulièrement robustes, notamment parce qu’ils ne sont pas soumis à des contraintes mathématiques telles que la dérivabilité ou la continuité des fonctions utilisées(35). Leur utilisation, principalement celle des algorithmes génétiques, reste exploratoire. Leur haut degré de technicité ne leur permettait pas de fournir d’éléments explicatifs clairs de la défaillance

(n) (0) n f (0) x+ x + ··· + x Rn (x) = f (x) − f (0) + 1! 2! n! Au voisinage de 0, Rn est négligeable devant xn : Rn (x) = o(xn ) . Démonstration : c’est une récurrence assez simple. Pour n = 1, le résultat est une autre manière d’exprimer la dérivabilité de f en 0. En effet, f (x) − f (0) = f (0) , lim x→0 x équivaut à : f (x) − f (0) f (x) − f (0) − xf (0) − f (0) = lim =0. x→0 x→0 x x lim Par définition, ceci signifie que f (x) − f (0) − (x − 0)f (0) est négligeable devant x au voisinage de 0 :

• Notions de logique : quantificateurs, CN, CS, CNS, méthodes de démonstration (déduction, récurrence, par l'absurde) • Suites numériques : limite d’une suite, critères de convergence. • Fonctions d'une variable réelle: limite, continuité, dérivabilité, fonctions bornées, fonctions monotones ; fonction réciproque ; théorème des valeurs intermédiaires (TVI) • Etudes de quelques fonctions usuelles : fonctions trigonométriques, fonctions hyperboliques, fonctions puissances, fonctions logarithmiques

partielles jouissent des mêmes propriétés que la dérivée d'une fonction à une seule variable. En particulier les polynômes, les fonctions exponentielles, les fonctions logarithmes sont dérivables dans leur domaine de dénition. Remarque 5.4: La dérivabilité partielle des autres fonctions s'établit en tant que somme, produit, quotient de fonctions de référence. Remarque 5.5: Les règles de dérivation partielle sont similaires aux règles de la dérivée d'une fonction d'une seule variable. Exemple:

→0 5) lim ln x 2 x →−∞ 6) lim x →0 ln x x 7) lim x − ln x x →+∞ 1  1 8) lim x ln  1 +  (Poser X = ) x →+∞ x x  9) lim x →0 ln(1 + 2 x) (Poser X = 2 x) x Exercice n°14. Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité puis calculer les dérivées des fonctions ci-dessous x 2ln x 1) f ( x) = − + 1 + 2ln x 2) f ( x) = 3) f ( x) = ln(4 − x) + ln x 2 ln 3 4) f ( x) = x ln x − x 5) f ( x) = x 2 ln x 6) f ( x) = ln(2 x − 5) 7) f ( x) = ln(−3 x + 1) 10) f ( x) = ln(ln

(λ f ) ′ ( a ) = λ f ′ ( a ) ( f g)′ ( a) = f ′ ( a) g( a) + f ( a) g′ ( a) 2. Analyse 39 g′ ( a) 1 ′ ( a) = − 2 g g ( a) f ′ ( a) g( a) − f ( a) g′ ( a) f ′ ( a) = g( a) = 0, g g2 ( a) ′ ′ ( g ◦ f ) ( a) = g ( f ( a)) f ′ ( a) g( a) = 0, Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle f : I → K, où I est un intervalle est dite dérivable sur un intervalle J ⊂ I si et seulement si : ∀ a ∈ J, f est dérivable en a. Formule de Leibniz f : I → K et g : I → E on suppose que λ et f sont dérivables sur