Dérivabilité

analytiques de ces fonctions Propositions π – Sens de variations. La fonction cosinus est strictement décroissante sur 0, et la fonction sinus 2 π est strictement croissante sur 0, . 2 – Continuité. Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R. – Dérivabilité. Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et, pour tout réel x, on a : cos (x) = − sin(x) et sin (x) = cos(x) 3.3 Fonction tangente Définition On appelle fonction tangente la fonction : tan : R − − 3π π π 3π ,− , , ,... 2 2

première S On ne va pas ici refaire l’ensemble du cours de première. On va juste fournir quelques compléments et approfondir certains points. Théorème 3 (Développement limité d’ordre 1) Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a ∈ I. La dérivabilité de f en a équivaut à la possibilité d’écrire une relation de la forme : f (x) = f (a) + k (x − a) + (x − a) ε (x) , avec lim ε (x) = 0 x→a Preuve : • Condition suffisante : si une telle écriture est possible, on a : f (x) − f (a) = k + ε (x)

morceaux (dérivable 1 fois, classe C1) Etc… 1 point : constantes par morceaux 2 points : affine par morceaux 3 points : Parabolique par morceaux Ces méthodes sont plutôt stables… souvent très utiles… mais ont de mauvaises propriétés de dérivabilités… Pour les calculer : On utilise les polynômes de Legendre. On veut calculer f(x) en utilisant les p plus proches voisins : Xj1 …Xjp On a alors : x j1< x < Xjp 2pt f ( x) = ∑ ai i= j 0 jp j = j 0, j ≠i ∏ jp (x − x

note la courbe représentative de f dans un repère orthonormé Soit f la fonction définie sur ( O ; i, j ) . Étudier la parité de f. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et calculer f′ ( x ) lorsque x appartient à ]0 ; + ∞[ . Étudier la dérivabilité de f en 0. Dresser le tableau de variations de f sur +* Étudier les positions relatives de Représenter sur [ – 1 ; 2 ] et et de la droite d’équation y = x sur +* (unité graphique : 3 cm). et les droites d’équations respectives : x = 1 et x =

LES PREREQUIS L'étude développée ici suppose qu'un certain nombre de notions qui figurent au programme ont été abordées antérieurement : -Les théorèmes sur les limites de fonction, la continuité en un point et sur un intervalle, enfin la dérivabilité en un point et sur un intervalle et la notion de primitive. -Les théorèmes sur les limites de suites et en particulier la convergence des suites monotones et bornées9 qui permet de définir un réel par deux suites adjacentes. REMARQUE 1. A plusieurs

d’entiers tels que 2 a < b et a b = ba . 3. Quel est le plus grand : eπ ou πe ? 1. Étudier et tracer la fonction f définie par f (x) = 1. La démarche pour étudier une fonction est toujours la même : • déterminer le domaine de définition et de dérivabilité ; • calculer la dérivée ; • étudier les limites de la fonction aux bornes de son (ou ses) intervalle(s) de définition ; • calculer les valeurs de la fonction aux points où la dérivée s’annule ; • résumer tout ceci dans le tableau de variations

maximum si f (x0 ) < 0 , un minimum si f (x0 ) > 0 . 28 Analyse en 30 fiches 5 Application Étudiez la dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction définie sur R par : 1 f (x) = x sin pour x = 0 et f (0) = 0. / x Solution / Pour x = 0, la fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et 1 1 1 f (x) = sin − cos · x x x Étudions la dérivabilité en 0. f (x) − f (0) 1 = sin n'a pas de limite lorsque x tend vers 0 (cf. fiche 3). Le quotient x −0 x

x2 x3 − ≤ x + 1 ≤ 1+ − + . 2 8 2 8 16 Soient f, g et h les fonctions définies sur 0 ; + ∞   respectivement par f ( x ) = x + 1, x x2 x3 g ( x ) = f ( x ) − 1− + et h ( x ) = g ( x ) − . 2 8 16 Dans l’exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur 0 ; + ∞   . ᕡ a) Calculer f ′′′( x ) puis démontrer que, pour tout x ≥ 0, g ′′′( x ) = alors les variations de g ′′ sur 0 ; + ∞   . 3 8( x + 1)2 x + 1 . Déterminer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Fonctions trigonométriques 5.1 Cercle trigonométrique . . 5.2 Dérivabilité . . . . . . . . 5.3 Propriétés . . . . . . . . 5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 13.4. Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 13.5. Relation entre continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 TABLE DES MATIÈRES 12 13.6. Calcul de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178