Dérivabilité

-2 Guillaume Laget - http ://maths.tetras.org/ 11/50 I - 6 Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques Deuxième partie interprétation géométrique du nombre dérivé : soit (C) le graphe d’une fonction f . Continuité, dérivabilité f (x) − f (x0 ) est le coefficient directeur (la x − x0 pente) de la corde de reliant les points d’abscisses x et x0 . 1 Rappels sur la continuité (T) (x,f(x) Si f est dérivable en x0 , quand x tend vers x0 , ce coefficient directeur

les asymptotes horizontales et obliques) : - si f (x) − g(x) 0 pour tout x d’un intervalle I, alors C f est située au dessus de Cg sur I. - si f (x) − g(x) 0 pour tout x d’un intervalle I, alors C f est située en dessous de Cg sur I. 3-5 Dérivabilité - Tangente x→a • f est dérivable en a si lim f (x) − f (a) existe et est égale à un réel. x−a • si la limite n’existe que pour x > a, f n’est dérivable qu’à droite. • si la limite n’existe que pour x < a, f n’est dérivable qu’à gauche.

science du droit à l’écart de son objet hérite donc de la frontière kantienne et wébérienne qui sépare l’irrationalité des valeurs et l’objectivité des faits, frontière qui plonge au demeurant ses racines dans la loi de David Hume sur la non- dérivabilité logique d’énoncés normatifs à partir de prémisses déclaratives. Un tel relativisme a conduit Kelsen à se départir explicitement, tant du sociologisme juridique (A) que de l’idéalisme juridique héritier, à travers le légalisme du XIXe siècle

exponentielle, puissance, sinus, cosinus et toutes celles obtenues à partir de telles fonctions en utilisant les opérations décrites dans les théorèmes 5.1.4 et 5.1.3. 5.2 Dérivation Soit f : I → R (ou bien f : I → C). Définition 5.2.1 (Dérivabilité en a) Soit a ∈ I. On dit que f est dérivable en a s’il existe un nombre l tel que T : I → R (ou C) f (x)−f (a) si x = a ; x−a x→ l si x = a. soit continue en a. La définition ci-dessus équivaut à : x→a,x=a f (x)−f (a) x−a lim existe et est

périodicité, période, fréquence) • Modélisation des signaux (apériodiques, périodiques, échelons, créneaux, portes, triangles, etc.) • Opérations des signaux (avance, retard, redressement, changement d’échelle) • Etude locale (continuité et dérivabilité en un point) • Dérivée d’une fonction composée • Compléments sur les fonctions usuelles (ln x, log x, log 2 x, ex et ax) • Propriétés des fonctions réciproques trigonométriques • Intégrale de Riemann (définition et propriétés) Prolongements

[2π], Dn(t) = sin((n+ 1 2)t) sin t 2 . 3. Calculer ∫ π −π Dn(t) dt. 4. En déduire que lim n→+∞ ∫ π −π f(x− t)Dn(t) dt = f(x). Exercice 14. [Mines] ('21) Soit F : x 7→ ∫ +∞ 0 e−t√ t eitx dt. Déterminer le domaine de dé�nition, la continuité, la dérivabilité puis la valeur de F . On rappelle que ∫ +∞ 0 e−u 2 du = √ π 2 . Exercice 15. [Mines] ('21) Soit β &gt; 0. Pour tout x ∈ R, on pose Iβ(x) =∫ +∞ 0 cos(xt) 1 + t2 e−βt dt. 1. a) Montrer que x 7→ Iβ(x) est deux fois dérivable sur R. b) Montrer que

f(x) Continuité, limites présenter de manière intuitive les notions de limite et de continuité d'une fonction et déterminer les limites de fonctions définir et déterminer les asymptotes verticales, affines d'une fonction Dérivées définir la dérivabilité d'une fonction en un point et dans un intervalle et interpréter graphiquement les éléments intervenant dans la définition de la dérivée énoncer les théorèmes relatifs à la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, du produit par une constante

parité, périodicité, période, fréquence) • Modélisation des signaux (apériodiques, périodiques, échelons, créneaux, portes, triangles, etc.) • Opérations des signaux (avance, retard, redressement, changement d’échelle) • Etude locale (continuité et dérivabilité en un point) • Dérivée d’une fonction composée • Compléments sur les fonctions usuelles (ln x, log x, log 2 x, ex et ax) • Propriétés des fonctions réciproques trigonométriques • Intégrale de Riemann (définition et propriétés) Prolongements possibles

51 53 53 54 54 55 56 56 57 58 61 61 62 63 64 65 66 66 68 69 71 71 71 72 72 72 73 75 76 77 77 77 78 79 80 80 80 81 81 84 85 3.4 4 Étude des fonctions numériques 4.1 Limites, continuité en un point 4.2 Continuité sur un intervalle . . 4.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . 4.4 Fonctions convexes . . . . . . 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . 4.5.1 Pour les TD . . . . . . 4.5.2 Pour les DL . . . . . . 4.5.3 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dans la lignée de cette preuve, on dispose de la règle de Leibniz (chain rule en anglais) : dz dy dz = dx dy dx que tout le monde adore pour sa simplicité et sa commodité. Corollaire. Soit u une fonction dérivable en x0 . On a les résultats de dérivabilité suivants : • (un )′ = nu′ un−1 pour n ∈ Z et u si besoin non nul ; √ u′ • ( u)′ = √ pour u > 0. 2 u √ ¤ Preuve. Il suffit d’appliquer la formule f (u)′ = u′ f ′ (u) pour f (x) = xn puis f (x) = x. 4.3 Variations Rappel. • Si • Si • Si Soit f