Dérivabilité

une tangente de pente f (x0 ). Son équation est : y − f (x0 ) = f (x0 ) (x − x0 ). f (x) − f (x0 ) = ±∞ , f n'est pas dérivable en x0 , mais le graphe de f x − x0 admet au point d'abscisse x0 une tangente parallèle à Oy. Si lim x→x0 1.5 Dérivabilité et continuité Attention, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction x → |x| est continue, et non dérivable, en 0, car elle admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite différentes. Toute fonction dérivable en x0 est continue en

tel que tout point de ce voisinage (sauf le point fixe lui-même) a ses successeurs qui finissent par sortir du voisinage, ce point fixe est repousseur. On dispose alors de la propriété suivante : Soit une fonction f n’ayant aucun problème de dérivabilité, et admettant un point fixe x0. Alors : • si | f ’(x0)| 1 , le point fixe est repousseur. Notamment dans l’exemple précédent de la croissance limitée d’une population, au point fixe 1/2, la courbe admet une tangente de pente nulle, f ’(1/2)=0

14 = +∞ 5 FONCTIONS PUISSANCES ET CROISSANCES COMPARÉES Fiches de Mathématiques 5.4 Fonctions exponentielles de base Définition fa (x) = a x = e x ln a Si a = 1, f (a) est la fonction constante dégale à1. Si a = e, fe est la fonction exp Dérivabilité fa est dérivable sur : fa′ (x) = ln a × e x. ln a = ln a × a x Si 0 < a < 1 alors, ln a < 0 donc fa′ < 0. fa est décroissante sur . Si a < 1 alors, ln a > 0 donc fa′ > 0. fa est croissante sur . Limites ∗ Si 0 < a < 1 ⇒ lim x ln a = −∞ x→+∞

sin 4 x sin 3x x En utilisant le résultat lim 1) x → sin5x 2x Calculs de dérivées Exercice n°26. Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de la fonction f en précisant le domaine de définition et le domaine de dérivabilité. 4) f ( x) = cos(3 x) − sin(2 x) 1) f ( x) = x cos x − 2sin x sin x sin x 2) f ( x) = 3) f ( x) = x cos x Page 4/20 Cours et exercices de mathématiques Exercice n°27. M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr En utilisant la définition

= 15 € Ìb = 3 ÔÓ9a + 3b + c = 28 ÔÓ c = 1 Ôv = 28 Ó3 t
$POKFDUVSF

QPVS
n ജ 1, v n = 2n2 + 3n + 1 et 2 n 2 + 3n + 1 un = . 6 On peut aussi demander une courbe de tendance polynomiale au tableur. Étude de fonctions Continuité et dérivabilité 2 Pour reprendre contact 1 Avec les lectures graphiques 1. f (1) = 2 f (0) = 1 f ( - 1) = 4 2. a. 3 3. f ¢ (2) = - 4 4. f ¢ (1) > 0 b. 1 f ¢ (0) = 0 f ¢ (- 1) < 0 c. 2 2 Avec les fonctions de degré 2 1. x -»

une tangente de pente f (x0 ). Son équation est : y − f (x0 ) = f (x0 ) (x − x0 ). f (x) − f (x0 ) = ±∞ , f n'est pas dérivable en x0 , mais le graphe de f x − x0 admet au point d'abscisse x0 une tangente parallèle à Oy. Si lim x→x0 1.5 Dérivabilité et continuité Attention, la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction x → |x| est continue, et non dérivable, en 0, car elle admet une dérivée à gauche et une dérivée à droite différentes. Toute fonction dérivable en x0 est continue en

ET GESTION PREMIERE ANNEE y y0 x0 x Semestre 1 BENBACHIR SAAD Table des matières 1 Fonction numérique d’une variable réelle 1. 2. 3. 4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor

fonctions logarithmes vérifient .--Jir.. n et Ainsi, un nombre dont le logarithme est compris entre n et n + 1 sera-t-il compris entre lOn et lOn+!, ce qui signifie que son écriture décimale comporte n + 1 chiffres avant la virgule . Dérivabilité et logarithme néperien Si y est une constante quelconque et x une variable, la dérivation par rapport à x de la relation (1) s' écrit (2) pour tout x et tout y positifs, y l'(xy) = l' (x) . En posant x = 1, il vient y l'(y) = /'(1). Ainsi, y l'(y)

valeur maximale atteinte par une action sur une certaine période. UCL Devolder 73 3. Le mouvement brownien Simulation d’un mouvement brownien : -En théorie mouvement brownien … non représentable compte tenu de ses propriétés de non dérivabilité. - Discrétisation possible permettant de se faire une idée de la forme des trajectoires - Principe de base : on choisit un pas ∆t - Pour simuler la valeur de w(t) on décompose : w( t ) = w( ∆t ) + ( w( 2∆t ) − w( ∆t )) + ... + ( w( t ) − w(

la forme et la position relative des courbes pour une description fidèle et exhaustive du réel. Quand la formalisation est tournée vers la simplicité, elle ne peut prétendre "reproduire" la réalité. Il n'y a pas une telle continuité ni une telle dérivabilité dans la réalité quotidienne des entreprises et des consommateurs. D'une certaine manière, les auteurs classiques faisaient le pari que les intérêts individuels pouvaient trouver à se concilier sans intervention autoritaire. Ils refusaient d'obéir