Dérivabilité

vectoriel. 2) Analyse : espaces métriques, espaces vectoriels normés, topologie de la convergence uniforme, fonction de la variable réelle, formule de Taylor, intégrale des fonctions réglées et critères de convergence, intégrale paramétrique et dérivabilité, critère de convergence des séries, série de fonction et séries entières, fonction de plusieurs variables, différentiabilité des applications partielles, théorème de Schwartz et recherche d’extrémum local, les multiplicateurs de Lagrange, les équations

valorisations de l’options à l’aide de scénarios différents. Pour ces deux calculs, une idée naturelle est alors de discrétiser les processus St = ∂St /∂S0 et St = ∂ 2 St /∂S02 . Sous des conditions sur le drift et la volatilité (de continuité et de dérivabilité), alors en utilisant une discrétisation d’Euler, ∂σ(Sˆn ) ˆ ∂µ(Sˆn ) ˆ Sn+1 ∆t + Sn ∆Wn . Sˆn+1 = Sˆn + ∂S ∂S Toutefois, cette méthode bien que naturelle a de vraies limites, en particulier si l’on sort des hypothèses mentionnées. 12.13 Calcul

(a) f ’(a) = g’(b) = b−a f ’(a) = g’(b) ⇔ b = −a – 8 ou b = a – 4 Puis un logiciel de calcul formel permet d’obtenir f (−a − 8) − f (a) que la seule solution à f ’(a) = ou (−a − 8) − a f ’(a) = f (a − 4) − f (a) est a = – 4. (a − 4) − a 66 • Dérivabilité : u2 est dérivable comme produit ; 1 est dérivable comme quotient lorsque u ≠ 0. u2 • Méthode 1 : ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ’ ⎛ 1 ⎞ ’⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ’ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜u⎟ ⎜u⎟⎠ ⎜u⎟ ⎜u⎟ ⎜u⎟ ⎜u⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎛ u’ ⎞ 2u’ = −2 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = − 3 ⎝u⎠ ⎝u

trouve que le coefficient directeur de la tangente est f (x0 ). Une équation de la tangente au point (x0 , f (x0 )) est donc : y = (x − x0 ) f (x0 ) + f (x0 ) M0 M x0 x 1.3. Autres écritures de la dérivée Voici deux autres formulations de la dérivabilité de f en x0 . Proposition 78 f (x0 + h) − f (x0 ) existe et est finie. h – f est dérivable en x0 si et seulement s’il existe ∈ R (qui sera f (x0 )) et une fonction ε : I → R telle que ε(x) −−−−→ 0 avec – f est dérivable en x0 si et seulement si

2. 1. b. est vraie (évident) et 1. c. vraie (une contraposée d’une proposition est vraie, ou alors démonstration par l’absurde) La proposition initiale est fausse (contre-exemple : x→x et x→x + 1) et 1. a. fausse (même contreexemple). 66 • Dérivabilité : u2 est dérivable comme produit ; 1 est dérivable comme quotient lorsque u ≠ 0. u2 • Méthode 1 : ⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞ ’ ⎛ 1 ⎞ ’⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ’ = + ⎝⎜ ⎜⎝ u ⎟⎠ ⎜⎝ u ⎟⎠ ⎠⎟ ⎜⎝ u ⎟⎠ ⎜⎝ u ⎟⎠ ⎜⎝ u ⎟⎠ ⎜⎝ u ⎟⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎛ u’ ⎞ 2u’ = −2 ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = − 3 ⎝u⎠

Repères 1re, Livre du professeur ) Chap. 2 Dérivation Livre du professeur lim t (h) Ainsi h"0 – v¢(a) v (a) 2 Ainsi la fonction racine carrée est dérivable pour tout a 2 0 et on a f ¢( a) = 1 . 2 a Étudions la dérivabilité de la fonction f en 0. Pour tout h 2 0 on a : f (0 + h) – f (0) h t (h) = = = 1 . h h h On voit que le quotient t (h) prend des valeurs aussi grandes que l’on veut lorsque h est suffisamment proche de 0 : il n’existe donc aucun réel

y–b F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( aX + b ≤ y ) = P  X ≤ ----------- = F X  -----------  a   a  1. On peut remarquer que les deux points de discontinuité de la fonction de densité { x = 0} et {x = 1} correspondent aux deux points de non-dérivabilité de la fonction de répartition. MODÈLE PROBABILISTE ET VARIABLE ALÉATOIRE • 149 • pour a < 0 : y–b F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P  X ≥ -----------  a  y–b  1 – F X  ----------- si X est une v.a. continue  a   =  y – a   

ne lissent pas les discontinuités qui apparaissent dans les conditions aux limites, mais les propagent le long des caractéristiques. L’existence de discontinuité dans le domaine de calcul entre en conflit avec les hypothèses de continuité et de dérivabilité sous-jacentes au problème différentiel, ce qui amène à s’interroger sur la notion de solution. Il faut tout d’abord se rappeler que les équations différentielles étudiées concernent des problèmes physiques et sont en général obtenues par application

produit vectoriel. Analyse Espaces métriques, espaces vectoriels normés, topologie de la convergence uniforme, fonction de la variable réelle, formule de Taylor, intégrale des fonctions réglées et critères de convergence, intégrale paramétrique et dérivabilité, critère de convergence des séries, série de fonction et séries entières, fonction de plusieurs variables, différentiabilité des applications partielles, théorème de Schwartz et recherche d’extrémum local, les multiplicateurs de Lagrange, les équations

dv f ( x, v x , t )  -------x = ----------------------- dt m Ce système admet une solution unique si les conditions initiales x(t = 0) et vx(t = 0) sont données, sous réserve de vérification de conditions portant sur la continuité et la dérivabilité des fonctions qui figurent dans le système d’équation. Ces conditions mathématiques sont physiquement peu contraignantes et sont satisfaites pour les systèmes mécaniques soumis à des champs de forces réels. Les systèmes mécaniques ont une évolution