Dérivabilité

1841 dans un article qui ne sera publié qu'en 1894. Il revient à Cauchy de donner la première définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861. • Bolzano démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du XVIIIe siècle, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un

dérivable et a ∈ R tel que f (a) = 0. 1. Montrer qu’il existe un voisinage V de a tel que ∀ x ∈ V \ {a}, f (x) = f (a). 2. Si f est continue au point a, montrer qu’il existe un voisinage V de a tel que f|V soit injective. [003935] Exercice 3936 Dérivabilité de | f | Soit f : R → R dérivable. Montrer que | f | admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. [003936] Exercice 3937 f (x) → et f est bornée 163 Soit f : R → R dérivable et bornée telle que f (x) → lorsque x → +∞. Montrer

a ∈ R tel que f (a) = 0. 1. Montrer qu’il existe un voisinage V de a tel que ∀ x ∈ V \ {a}, f (x) = f (a). 2. Si f est continue au point a, montrer qu’il existe un voisinage V de a tel que f|V soit injective. [003935] [003934] Exercice 3936 Dérivabilité de | f | Soit f : R → R dérivable. Montrer que | f | admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. [003936] Exercice 3937 f (x) → et f est bornée Soit f : R → R dérivable et bornée telle que f (x) → lorsque x → +∞. Montrer

f(x) | définie pour x appartenant à | f '(x) | définie pour x appartenant à | k constante réelle | | 0 | | x | | 1 | | xn où n entier naturel, | | | | Remarques :• La dérivabilité s'effectuant sur un intervalle, on dira que la fonction est dérivable sur et sur et non sur (qui n'est pas un intervalle mais une réunion).• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0. 3. Opérations sur les fonctions dérivables Soient u et v

et lorsque c’est possible, on d´finit f (n) = f (n−1) . f (n) s’appelle la d´riv´e e e e e i`me de f . Si celle ci existe pour tout n ∈ IN∗ , on dit que la fonction f est ind´finiment e n e d´rivable ou qu’elle de classe C ∞ . e Ă Ł ´ ´ 8.3. DERIVABILITE 37 8.3.2 Op´rations et propri´t´s e e e f g • Si f et g sont d´rivables en x0 et si λ ∈ IR, n ∈ IN∗ alors f g,f + g,λf,f n et e sont d´rivables en x0 et on a e 1. 2. 3. 4. 5. (f + g) (x0 ) = f (x0 ) + g (x0 ), (f g) (x0 ) = f (x0 )g(x0

algorithmes de recherche de solutions d’équations non linéaires peuvent être coûteux : il convient de prendre quelques précautions avant d’en démarrer l’exécution. On s’assure notamment de l’existence de solutions en étudiant la continuité et la dérivabilité de la fonction à annuler ainsi que d’éventuels changements de signe ; à cet effet le tracé de graphe peut être utile (cf. §4). Méthode de dichotomie Cette méthode repose sur la première démarche : construire une suite d’intervalles emboîtés qui

+ 16x − 48 . b. Il suffit de déterminer une équation du cercle de centre O et de rayon 3 : x2 + y2 = 9. Là encore, comme y ⩾ 0 : y = 9 − x 2 . c. g est dérivable sur ]– 3 ; 12[, mais pas en x = – 3 ni en x = 12. La dérivabilité en 0 et en 8, ainsi que la non dérivabilité en – 3 et 12 s’obtiennent par recherche de f (x0 + h) − f (x0 ) . la limite lorsque h tend vers 0 de h 59 1. a. et b. 2. a. Immédiat. b. Le point H représente le point M tel que la distance de AM soit minimale,

sur [0 ; 2] est 2, donc la contrainte est respectée. A 1 a. f (0) = 0, f (4) = 1, f©(0) = 0 et f©(4) = 0. b. On a a1(0,5) = 2 et a2(0,5) = 0 ; on a a2(0,5) = 0 et a3(0,5) = – 1. Remarque : on peut faire alors observer aux élèves la « non dérivabilité » en 0,5 et en 2 : il n’y a pas de tangente à la courbe des vitesses en ces deux points. B 1 2 Une fonction affine a une dérivée constante. Si cette dérivée est nulle en un point, alors la fonction est constante et on ne peut pas avoir f (0)

5.4 – Représentation de la probabilité d’un intervalle 1. C’est-à-dire que la fonction f peut ne pas être continue sur un ensemble dénombrable de points de ‫ ; ޒ‬on dit encore que f est continue par morceaux ; mentionnons que les points de non-dérivabilité de F correspondent aux points de discontinuité de f MODÈLE PROBABILISTE ET VARIABLE ALÉATOIRE • 147 P131-178-9782100549412.fm Page 148 Mercredi, 24. novembre 2010 10:19 10 Probabilité attachée à un point x Soient deux nombres réels a et b

t i o n d é r i v é e 3 a. Le maximum de l’accélération sur [0 ; 2] est 2, donc la contrainte est respectée. b. On a a1(0,5) = 2 et a2(0,5) = 0 ; on a a2(0,5) = 0 et a3(0,5) = – 1. Remarque : on peut faire alors observer aux élèves la « non dérivabilité » en 0,5 et en 2 : il n’y a pas de tangente à la courbe des vitesses en ces deux points. B 1 a. v1(0) = d = 0. b. On a a1(t) = v1©(t) = 3at 2 + 2bt + c. D’où a1 (0) = c = 0. c. D’après les deux questions précédentes on a : v1(t) = at 3 + bt 2