Dérivée seconde

sous forme d’expression symbolique ou sous forme gr graphique. 2. Déterminer si une fonction a une limite, est continue, est dérivable, en un point et sur un intervalle. 3. Appliquer les règles et les techniques de dérivation. 4. Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d’une fonction et tracer son graphique. 5. Résoudre des problèmes d’optimisation et de taux de variation. s Professeurs : Nicolas Beauchemin (A-332), Stéphane Beauregard (A (A-340), Hélène

| MEMOIRE FINAL de Raisonnement Scientifique Histoire de fonctions : Exercice 3 : Dérivées Rappel vu précédemment : Fonction : Quand une grandeur dépend d’une autre ou de plusieurs autres grandeurs, on dit que la première grandeur est une fonction des autres grandeurs que l’on appelle alors variables. La dérivée peut se faire par rapport a un nombre ou plus habituellement par rapport à une fonction. Cependant les deux existent et sont courrant

strictement croissante de R∗ sur R. + Formules: ( srce = sous réserve des conditions d’existence ): ln ab = ln a+ ln b ln a = ln a− ln b b 1 ln a = ln 1− ln a = − ln a ln 1 = 0 ln ar = r ln a pour tout r´el r ln e = 1 e Dérivée (srce): (ln x) = ′ 1 >0 x u (x) [ln(u(x))]x = u(x) ′ ′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle

définie en 0, la tangente à la courbe en 0 lim h→0 h h>0 est verticale. 2. Il existe une dérivée à droite et une dérivée à gauche, mais elles sont différentes : f (a + h) − f (a) f (a + h) − f (a) a une limite notée f ′ (a+ ), et lim a une limite notée f ′ (a− ), Si lim h→0 h→0 h h h0 avec f ′ (a+ ) = f ′ (a− ), f n’est pas dérivable en a. Mais f possède une dérivée à droite et une dérivée à gauche, qui sont différentes. Graphiquement, la courbe de f présente un point anguleux. Exemple

y=2x−2+2 y=2x IILa fonction dérivée ALa dérivée sur un intervalle La fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle. On appelle alors fonction dérivée de f la fonction notée f′, qui a tout réel x associe f′(x). Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Si f′ est également dérivable sur I, la dérivée de f′, notée f′′, est appelée dérivée seconde de f ou dérivée d'ordre 2 de f . BLes dérivées des fonctions usuelles Soient

Chapitre III : Dérivation 1 1.1 Fonctions dérivables Nombre dérivé, fonction dérivée Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un réel de I. f est dérivable en a si et seulement si l’une ou l’autre des deux propositions équivalentes est réalisée : f (a + h) − f (a) a une limite finie l en 0, ou encore – la fonction h −→ h f (x) − f (a) a pour limite l quand x tend vers a. que la fonction x −→ x−a – pour tout réel h tel que a + h ∈ I, f (a + h) = f (a)

constantes quelques soient les niveaux de revenus. Fonction affine : il existe une Co consommation incompressible. La PMoyenneC dans ce cas-làs est constante et la PmC est décroissante et tend vers c. Fonction concave : la dérivée première est positive et la dérivée seconde est négative et donc les deux propensions sont décroissantes. Cette 3ème représentation serait la plus proche des hypothèses keynésiennes mais pour des raisons de commodité dans les modèles basiques on utilise plutôt la 2ème

fonctions sont présentés dès le collège ainsi que des lectures graphiques. La notion de fonction affine est au programme de la classe de troisième. En seconde, le concept général de fonction est introduit ; cet apprentissage est à consolider et à approfondir tout au long des années de première et de terminale. Un travail spécifique à la classe de seconde a déjà été réalisé à l’IREM de Limoges. Nous l’avons poursuivi pour les autres niveaux en nous centrant sur certaines difficultés rencontrées par nos

d’approfondir les connaissances acquises en classe de seconde. I. Rappels de la classe de seconde : Définition : une fonction f définie sur un intervalle I est une fonction du second degré (ou fonction polynôme de degré deux) si on peut trouver trois paramètres a, b et c, avec a ≠ 0, tels que l’on puisse écrire son expression sous la forme f (x) = ax2 + bx + c, x∈I. Cette écriture est appelée forme développée. Toutes les fonctions du second degré sont représentées graphiquement par des paraboles

équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution