Dérivée seconde

segmentation est réalisée à travers un processus de minimisation d’une énergie notée E exprimée par: (4) vs (s) : La dérivée première de v(s) par rapport à s. α(s) : L'élasticité du contour vss(s) : La dérivée seconde de v(s) par rapport à s. β(s) : La rigidité du contour Le terme de premier ordre contrôlé par α ( s ) qui représente l'élasticité de contour. Le terme du second ordre contrôlé par β (s ) qui représente la rigidité du contour. Le choix des paramètres α et β impose les caractéristiques

Fonctions hyperboliques et réciproques Suites numériques Suites particulières Intégrales définies Calcul des primitives Formules de Taylor Intégrales généralisées Équations différentielles du premier ordre Équations différentielles linéaires du second ordre Systèmes différentiels Séries numériques Suites de fonctions Séries de fonctions Analyse en 30 fiches 6 12 16 22 26 32 36 42 46 50 56 62 68 74 82 88 92 100 104 110 114 Séries entières Séries de Fourier Topologie

le note f ' (a) Si la variable représente une durée alors le nombre dérivé est une vitesse instantané. Equation de la tangente : y=f’(a) X (x-a) + f(a) Fonction dérivé : Def : Soit f une fonction définie sur un domaine Df. On appelle la fonction dérivée de f = f' ; la fonction qui à chaque valeur de x associe son nombre dérivé f ' (x) Ex : si f(x)=x² alors f '(x)=2x Remarque : Il existe parfois des valeurs de x par laquelle il n'y a pas de nombres dérivés. On dit que f n'est pas dérivable pour ces

sources d’incertitude liées au positionnement du capteur. 1. Les différents types de déplacement et leur mesure Un déplacement pouvant être défini comme la variation, en fonction du temps, d’une position, la dérivée première par rapport au temps du déplacement donne la vitesse, la dérivée seconde donne l’accélération. Ces deux grandeurs sont certes accessibles à partir du signal fourni par un capteur de déplacement ; il est toutefois à noter [1] que le rapport signal sur bruit est diminué lors d’une

question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n’est demandé. La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−5 ; 5]. On note f ′ la fonction dérivée de f . y 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 1. Sur l’intervalle [−5 ; 5] : a) f est une fonction de densité de probabilité c) f n’est pas continue b) f est positive d) l’équation f ′ (x) = 0 admet deux solutions 2. Sur l’intervalle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 30 31 31 Calcul différentiel élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fonction objectif, on ajoute à la fonction coût la fonction de contrainte, multipliée par un Page 2 coefficient λ indéterminé : L = ∑ Ci(Pi) + λ ( ∑ PL + pertes - ∑ Pi ) (10) L’équation (10) qui est la fonction de Lagrange est minimisée lorsque la dérivée première par rapport à chaque variable indépendante est annulée. On a donc pour chaque production Pi la condition d’optimalité suivante : λ. –λ=0 (11) Donc λ= Le facteur 1 /( (12) ) est appelé facteur de pénalité. L’optimum économique est obtenu

fonction exponentielle est solution, sur , de l'équation différentielle y' = y. Elle est donc nécessairement dérivable sur  et par conséquent continue sur . · Stricte monotonie La fonction exponentielle est strictement positive sur  et égale à sa dérivée donc elle est strictement croissante sur . Remarque : la croissance de l'exponentielle se traduit par : ex  ey Û x  y (Voir illustration, figure 1) Cette dernière propriété sera très utile pour établir des inégalités ou pour résoudre des

CHAPITRE 2 Exercice 1 Équations différentielles y’ = ay + b (page 38) Réponses a) f ’ (x) = e x. 1 b) f ’ (x) = – 3e x. 2 x 1 c) f ’ (x) = e 2 . 3 2 d) f ’ (x) = 2e–x. 4 Prérequis testés Calculer une dérivée. 1 Prérequis : « Vérifier les acquis » 2 Connaître la fonction f telle que f ’ = af et f (0) = 1. 1. a) f (x) = e x. b) f (x) = e3x. 2. f (x) = e ax. a) a = – 1. Savoir reconnaître une solution d’une équation . b) a = – 1 différentielle. 2 c. a = 2. a) f ’(x) = 2e 2x b) f

utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² h définie sur par h(t) = + + p;2)) i définie sur ]0 :+ 邰‰뽨ĜǟČ [ par i(x) = 4 + - p² Exercice 3 (3.5 points)