Dérivée seconde

Correction [000738] Exercice 12 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t ≥ 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction [000740] Pn (t) 1/t e t 2n Retrouver cette

pensera qu’on peut bien faire une erreur de 10 années-lumière ! Quant au mathématicien, il se bornera à indiquer prudemment que plus on est proche de a, plus l’erreur est négligeable. Il faut donc s’attendre à ce que la définition rigoureuse de la dérivée utilise la notion de limite. Et c’est bien ce qui va arriver ! B Sur le tour de France . S G 100 m D 10 km P U A 400 m 10 km La courbe ci-dessus représente une étape du Tour de France. Même un non initié comprend qu’il y a une

différentielle (1) : y' + y = 2xe − x, dans laquelle x est une variable réelle quelconque, y une fonction inconnue de la variable x (qu’il s’agit précisément de déterminer). 1* 1. Montrer que y = e − x est une solution particulière de l’équation sans second membre (c'est-àdire de l’équation y' + y = 0). La fonction x ! −x est dérivable sur R. Peu importe dans quel ensemble elle prend ses valeurs puisque la fonction x ! e x est dérivable sur R. La fonction u : x ! e − x est donc dérivable sur R comme

et Morgenstern (1947) définissent ce qui a été convenu d’appeler la fonction d’utilité Von Neumann-Morgenstern (VNM) : une telle fonction d’utilité respectant ces axiomes de comportement est une fonction croissante de la richesse de l’individu. Sa dérivée première est alors positive : Ensuite, Von Neumann et Morgenstern élaborent le théorème de l’utilité espérée : confronté à un ensemble de lignes d’actions aux résultats aléatoires ou de manière plus générale à un ensemble de loteries, un individu

Fonctions Nombre Dérivé – Fonction dérivée Ce chapitre est le chapitre central de la classe de Terminale STG. Il permet (en partie) de clore ce qui avait été entamé dés le collège avec les fonctions affines : l’étude des fonctions. L’objectif de ce chapitre est principalement de pouvoir déterminer les variations d’une focntion sans représentation graphique ! Lorsque nous étudierons des fonctions cout ou bénéfice, nous serons alors capables de déterminer le maximum de f, son minimum, les productions

[000738] Exercice 11 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = Pn (t) 1/t e t 2n où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction Vidéo [000740]

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 7 7 3 Compléments sur la fonction exponentielle 3.1 Dérivée de la fonction eu . . . . . . . . . 3.2 Exemples types . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Fonctions d’atténuation . . . . . 3.2.2 Chute d’un corps dans un fluide 3.2.3 Fonctions gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’utilité Troisième phase : utilité marginale négative Consommation d’une unité supplémentaire diminue la satisfaction => exclue car irrationnelle Um= V°Ut/V°X Dérivée de l’utilité totale (rapport de V°Ut sur V°X quand V°X->O) Um= Ut’=dU/dX [V° : accroissement ponctuel entre deux variables quelconques d : différentiel (dérivée : fonction continue)] *reste valable en cas d’utilité totale ordinale : valeur symbolique B. La courbe d’indifférence On fixe un niveau d’utilité donné. Elle

 L( e jt  e  jt 2 ) 1 1 s L(e jt )  L(e  jt )  2 2 2 s 2 d)- Dérivées : La dérivée première est obtenue par : La dérivée seconde : La dérivée troisième : L  f t  = s2 L  f t   s. f 0   f 0  = s 2Fs  s f 0 f 0 L f L  f t s L  f t  f 0 = sF(s) f(0)  t  =L .s  f t   s . f 0  s. f 0  f (0) 3 3 2 Généralisation aux dérivées d’ordre n : Supposons que f(t), et ses dérivés f k (t) , pour k=1,2,..,n sont continues

PREMIERES S2 et S4 Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006 39 INTRODUCTION GENERALE Le programme des premi•res S2 et S4 s'inscrit dans la continuitŽ de la rŽforme des programmes de la 6•me ˆ la 2nde et tient compte de la nouvelle rŽforme du baccalaurŽat. En consŽquence, il prend en compte les changements entrepris dans les classes prŽcŽdentes et se situe dans l'Žtat d'esprit de l'harmonisation des programmes de MathŽmatiques. Ce programme est prŽvu