Développement limité

Chapitre 8 Limites et comparaison des fonctions numériques On rappelle que R = R ∪ {−∞, +∞} = [−∞, +∞]. 1 Limite en un point de R 1.1 Voisinages d’un point de R Définition 1 Voisinages d’un point de R 1. Si x 0 ∈ R, on appelle voisinage de x 0 tout intervalle V ouvert et centré en x 0 , ie du type ]x0 − δ, x 0 + δ[ où δ > 0. On définit aussi les voisinages à droite de x 0 par Vd =]x 0 , x0 + δ[, et les voisinages à gauche par Vg =]x 0 − δ, x 0 [. Remarquons que x 0 ∈ V mais x 0 ∉ Vd et x 0 ∉ Vg

de cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite Si g ou (vn) a pour limite Alors f + g ou (un) + (vn) a pour limite Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes

des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Pré-requis : – Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ; – Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ; – Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition des limites : « Soient f : D −→ R et g : E −→ R, où D, E ⊂ R tels que f (D) ⊂ E. Soient 2 (a, ℓ, L) ∈ D × R , où ℓ = lim f (x) et L = lim g(x). Alors L = lim

Archives  TS   DAO.01       TS.0910 - DST.01 - Corrigé Terminale S 2010-2011   EXERCICE 1 On considère dans . 1. Soit la fonction définie sur l’intervalle par : a) Déterminer les limites de en . . en 0 et a) Limite de de . sur possède . D’où ; d’où en 1. sur l’équation dans b) i) Montrer que pour tout réel , ii) Étudier le sens de variation de . c) Démontrer que l’équation une unique solution dans Soit ce réel. 2. Démontrer que pour tout réel l’équation . de

croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par un=n² a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle ]a ;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite +∞ ou diverge vers +∞ si tout intervalle ]a ;+∞[

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes

Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement

des deux suites : [pic] Et de plus, une récurrence immédiate montre que [pic] et [pic]. Soit [pic]. Les suites [pic] et [pic] sont donc adjacentes. Elle convergent vers une même limite c. Le passage à la limite dans (1) donne : [pic], soit que [pic]. Le passage à la limite dans (4), sachant que g est continue (en c en particulier), donne [pic], soit [pic], d’où l’existence du réel cherché, et le théorème. Remarques : Le théorème est faux en général quand

considérant h strictement négatif, on obtient : f (a + h) ≤ f (a) ≤ A(a + h) − A(a) ≤ f (a + h) h Si on fait tendre h vers 0 et en tenant compte du fait que la fonction f est continue sur R, donc sur R+ en particulier, on obtient, après passage à la limite : A(a + h) − A(a) = f (a) h→0 h lim y Cf : y = 0.9 × e−0.9x f (a) f (a + h) O a a+h x Ce qui nous permet de dire que la fonction x A : x −→ est dérivable sur R+ et vérifie f (t)dt 0 La fonction A est appelée primitive