Distributivité

semi-anneau. u|β q1 → Diagramme a|α Identit´ e α + (β + γ) = (α + β) + γ α+β =β+α α+0=α Nom Associativit´ de + e Commutativit´ de + e ´e El´ment neutre (droite) de + ´e El´ment neutre (gauche) de + Associativit´ de × e Distributivit´ (droite) de × sur + e Distributivit´ (gauche) de × sur + e ´e El´ment neutre (droite) de × ´e El´ment neutre (gauche) de × p→q a|α a|β → p a|β q → a|α → → a|γ p a|0 →q p a|0 q → r a|α b|β a|α → b|β 0+β =α c|γ p→q→r→s p a|β

∪ B = B ∪ A (commutativité de l’union) 5/ (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativité de l’intersection) 6/ (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativité de l’union) 7/ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Distributivité de l’union sur l’in- tersection) 8/ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivité de l’intersection sur l’union) 9/ A ∩ B = A ∪ B 10/ A ∪ B = A ∩ B 11/ A ∩ A = ∅ 12/ A ∪ A = Ω On généralise les notions d’intersection et d’union à une infinité d’ensembles de la manière suivante : Définition

devant la juridiction civile. Si le défendeur est celui pour qui l’acte est civil, le demandeur commerçant ne peut assigner que devant la juridiction civile. La question s’est posée de savoir si une clause pouvait faire échec au principe de distributivité, en imposant à la partie non-commerçant la compétence du Tribunal de Commerce. La jurisprudence a été très hésitante, aujourd’hui elle considère que dans le cas où une telle clause est stipulée, le demandeur non-commerçant doit assigner le commerçant

= x−1 . Observons que 1−1 = 1−1 1 = 1. 5 Diviser x par y = 0, c’est multiplier x par y −1 et l’on ´crit aussi e y −1 = pour d´signer l’inverse multiplicatif. e Les op´rations d’addition et de multiplication sont reli´es par l’axiome e e de distributivit´ : e A9 Quels que soient x, y et z ∈ R, x(y + z) = xy + xz. La premi`re cons´quence de cet axiome est que, quel que soit x ∈ R, e e 0x = 0. En effet, 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x et le r´sultat suit en soustrayant 0x de chaque membre de l’´quation. En

citer les propriétés suivantes. Soit # et deux Cryptographie et procédés de chiffrement opérations distinctes parmi ⊕, est et est ). et (par exemple # est ⊕ et est 107 ou encore # 1) Aucune paire d’opérations #, ne satisfait la loi de distributivité, c’est-à-dire qu’il existe nécessairement trois blocs x, y, z de 16 bits chacun tels que : x#(y z) = (x#y) (x#z); 2) Aucune paire d’opérations #, ne satisfait la loi d’associativité, c’est-à-dire qu’il existe nécessairement trois blocs x

Développement et factorisation, identités remarquables Factoriser, c’est écrire une somme de termes comme un produit de deux (ou plus) autres termes. Développer, c’est faire l’opération inverse. Dans les deux cas, la propriété fondamentale utilisée est la distributivité de la multiplication sur l’addition. En fonction du contexte, il peut être utile de factoriser ou de développer une expression donnée. Exercice 1.7. — Développer et simplifier 2(x + 1)(x − 3) − (x + 2)2 ; factoriser (x − 1)(x2 + 1) + 2x(x − 1)

la lettre de change qui est toujours de nature commerciale. La question qui se pose à propos des actes mixtes est de déterminer le droit qui convient de leur appliquer : droit civil ou droit commercial. I. La règle ordinaire : la dualité ou la distributivité du régime applicable : La jurisprudence s'était forcée d'élaborer une solution qui consiste à appliquer les règles commerciales à la partie qui a fait un acte de commerce et les règles civiles à celle qui a passé un acte civil. Cependant, une

contrat de prêt consentit par une banque à un particulier qui emprunte pour des raisons personnelles. Cet acte est commercial pour le banquier mais civil pour l'emprunteur. Le principe qui gouverne ces actes mixtes est le principe dit de la distributivité. Ce principe signifie que l'on distribue l'application des règles juridiques en fonction de la nature de l'acte pour la partie concernée. On applique la règle commerciale pour la partie commerciale et on applique la règle civile pour la partie

Plan Ensembles D´finitions e Op´rations e Distributivit´ e Logique Proposition Op´rateurs e logique Pr´dicat e Arithm´tique e Relation D´nombrement e Arithm´tique e CS1 Outils math´matiques pour l’informatique e D´partement SRC IUT de Saint-Di´-des-Vosges e e 19/160 Propri´t´s ee CS1 Outils math´matiques e pour l’informatique D´partement e SRC IUT de Saint-Di´-dese Vosges Plan Ensembles D´finitions e Op´rations e Distributivit´ e 1 A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(associativité) III.1.7. — Soient E un ensemble et A, B, C ∈ P(E). On a (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Remarque III.1.8. — On généralise ainsi la notion d’union et d’intersection à plusieurs sous-ensembles. Proposition (distributivité) III.1.9. — Soient E un ensemble et A, B, C ∈ P(E). On a : A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Définition III.1.10. — Soient E un ensemble et A, B ∈ P(E). A et B sont disjoints si A ∩ B = ∅. Définition III.1.11.