Division d'un polynôme

On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une base orthonormée de E. Que peut-on dire du degré du polynôme X n + (−1)n+1 n!L0 ? 3. Déterminer les coordonnées dans la base B d’un vecteur N de E orthogonal à l’hyperplan H de E formé des polynômes de degré ≤ n − 1. Si P ∈ E, on

homogène en y sont de la forme λe2t + µe3t. On pose alors y (t) = z (t) et. Alors y′ (t) = z′ (t) et + z (t) et y′′ (t) = z′′ (t) et + 2z′ (t) et + z (t) et d’où (après division par et �= 0) y′′ − 5y′ + 6y = tet ⇐⇒ z′′ + (2− 5) z′ + (1− 5 + 6) z = t ⇐⇒ z′′ − 3z′ + 2z = t On cherche ensuite une solution sous la forme d’un polynôme de degré 1, z (t) = at+ b. Alors z′′ − 3z′ + 2z = t⇐⇒−3a+ 2at+ 2b = t⇐⇒ a = 1 2 , b = 3 4 z (t) = t 2 + 3 4 Les solutions de l’équation en y sont y (t) = λe2t + µe3t + �

continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

moderne de résoudre la transmission d'informations. Toutefois, pour les nécessités du transport, la transmission d'un message nécessite un encodage en signaux de type électrique ou électromagnétique : L'émetteur et le récepteur sont, de nos jours, des ordinateurs. La voie de transmission peut être une simple liaison directe entre émetteur et récepteur ou beaucoup plus complexe dans le cadre d'un ou plusieurs réseaux de télécommunications. Les signaux sont les véhicules de transport de l'information.

Algorithme : principe général 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • L’algorithme est la description d’un traitement automatisé de données destiné à être réalisé sur un ordinateur. • Il se construit simplement à partir de mots clés et de conventions en utilisant un certains nombre de principes directeurs. 1 15/10/2010 4 EST Essaouira - Université Cadi Ayyad TM1 & AGT1 Règle générale d’un algorithme 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 • On effectue des opérations sur des informations

des applications de E vers F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 12. Déterminants 8 8 9 9 9 12.1. 12.2. 12.3. 12.4. 12.5. Ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . Matrice triangulaire . . . . . . Ordre quelconque . . . . . . . Déterminant d’un produit . . Matrice triangulaire par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 23 23 23 23 3. Structure de Groupe 3.1. 3.2. 3.3. Groupe . . . . . . . . . . . . . . .

2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 10 14.2. Matrice triangulaire . . . . . . . . . . . 10 14.3. Ordre quelconque . . . . . . . . . . . . 10 14.4. Déterminant d’un produit . . . . . . . 10 14.5. Dét. d’une mat. triangulaire par blocs 11 15. Réduction des Endomorphismes 11 15.1. Valeurs propres et vecteurs propres . 11 15.2. Polynôme caractéristique . . . . . . . 15.3. Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . 11 15.4. Diagonalisibilité et diagonalisation . 11 15.5. Triangularisation . . . . .

préfèrera les problèmes visant à développer la compréhension et l’intuition des élèves, mettant à profit la présence du colleur. Prérequis La connaissance du cours est indispensable ; elle est, de toute façon, la moindre des choses qu’on peut attendre d’un candidat aux concours. Malgré mes efforts pour ordonnancer le contenu de ce recueil, c’est à dire faire en sorte qu’un exercice ne fasse appel qu’aux connaissances des chapitres qui le précèdent, cela n’a pas toujours été possible (notons qu’un bon

46 47 Exponentielle complexe 1re année 144 48 49 Polynômes 1re année 149 153 Fractions rationnelles 1re année Nombres complexes et géométrie plane 1re année 147 Partie 4 – Algèbre linéaire et multilinéaire 50 51 52 53 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. Structure d’espace vectoriel 1re année et 2e année 158 58 59 Déterminants 1re année et 2e année 185 Dimension d’un espace vectoriel 1re année et 2e année Réduction des endomorphismes

s'adapte au calcul que l'on veut faire. Notons que l'on résout rarement un système linéaire en calculant Esnard Aurélien Algorithmique Numérique Systèmes linéaires Ax=b : méthodes directes Formules de Crammer Cette méthode nécessite le calcul d'un déterminant, dont la complexité est en n!. La compléxité de la formule de Cramer est en n 2 n!. Par conséquent, cette méthode n'est pas utilisable en informatique. Méthode du pivot de Gauss  ai ,k i > k , Ligne i −  a  k ,k n3 L'algorithme