Division d'un polynôme

Chapitre 3 LES POLYNOMES 3.1 Les objectifs Le but de ce chapitre est d’apprendre ` a e o • effectuer des op´rations dans l’ensemble des polynˆmes, • utiliser la loi du reste dans la factorisation des polynˆmes, dans la simplification des fractions o rationnelles et dans la r´solution d’´quations, e e • utiliser la m´thode des coefficients ind´termin´s lors de la r´solution de certaines applications. e e e e 3.2 3.2.1 Vocabulaire(Rappels) Monˆmes o  e  a est un coefficient r´el (a ∈ IR);

les polynômes. Effectuer le produit scalaire, vectoriel et projection de vecteurs. Calculer des dérivées, en particulier des dérivées de fonctions composées. Étudier des fonctions. Appliquer les développements limités au calcul de limites. Étudier une variable aléatoire suivant une loi normale. Estimer une moyenne, une variance, une fréquence. Tester l'égalité de moyennes, de fréquences. Prérequis : Niveau d'un bachelier scientifique ou technologique. Contenus : Étude des polynômes. Calcul

0.6 0.7 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses conséquences 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 La division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les sous-groupes de 21 21 22 23 24 26 27 28 28 Z . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 POLYNOMES 1.1 Algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Opérations sur K[X] . . . . . . . . . . . . . 1.2 Division des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Divisions suivant les puissances décroissantes 1.2.2 Algorithme d’Euclide, PGCD . . . . . . . . 1.2.3 Divisions suivant les puissances croissantes . 1.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Factorisation

hSup PCSI1 2010,11 A 1 Pb 11 08-02-2011 D´veloppements limit´s et d´nombrement e e e Enonc´ tir´ d’un vieil ´crit (E.N.S.A.M. + E.S.T.P. ) e e e question de cours donner le d´veloppement limit´ ` l’ordre n au voisinage de 0 de (1 − t)−3 : e ea • les cinq premiers coefficients seront fournis explicitement • le n-i`me sous forme symbolique aussi simple que possible ... e • ... puis sous forme d´velopp´e e e Ci dessous n ∈ N, on pose Pn (X) = (1 + X + X2 + ... + Xn−1 + Xn )3 2 a b

Développements limités 2.1) Position du problème Considérons une fonction contenant ). On sait que dérivable au voisinage d'un point (c'est-à-dire dans un intervalle ouvert Appelons ε la fonction défini dans un voisinage de 0 par : D'après le calcul précédent, on a Or on peut écrire : Et donc Cette formule est vraie pour toute fonction dérivable au voisinage d'un point Comparons-la avec la formule de Taylor quand (en supposant évidemment que la fonction est maintenant de classe Nous

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 POLYNOMES 1.1 Algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Opérations sur K[X] . . . . . . . . . . . . . 1.2 Division des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Divisions suivant les puissances décroissantes 1.2.2 Algorithme d’Euclide, PGCD . . . . . . . . 1.2.3 Divisions suivant les puissances croissantes . 1.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Factorisation

STRUCTURES: COMPLÉMENTS 1 Séries dans un evn Définition 1 : Un groupe cyclique est un groupe monogène fini 1 1 1 1 2 2 3 3 4 Table des matières 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sous groupes de Groupe engendré Groupe monogène, groupe cyclique Idéal d'un anneau Divisibilité dans un anneau commutatif L'anneau Z Exemple 1 : G un groupe, (a, b) ∈ G2 tel que : o(a) = 2, o(b) = 3 et aba = b−1 , déterminons le sous groupe de G engendré par {a, b}. Si H = 〈{a, b}〉 alors 1, a, b, ab, ba, b2 ∈ H, pour

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

codes détecteurs d’erreurs, les codes correcteurs d’erreurs. Le code de Hamming : un code détecteur et correcteur d’erreurs. Le CRC (Cycle Redundancy Check) : un code détecteur d’erreurs. Ann´ee 2003-2004 – p.3/22 Le code de Hamming (1) Structure d’un mode de code de Hamming les m bits du message à transmettre et les n bits de contrôle de parité. longueur totale : 2n − 1 longueur du messages : m = (2n − 1) − n ⇒ on parle de code x − y où x = n + m et y = m. Exemple de code de Hamming : un mot de