Division euclidienne

restes des divisions euclidiennes de n par tous les entiers compris en 2 et √n ne sont pas nulles. 1. / Donner les restes des divisions euclidiennes de 103 par tous les entiers compris entre 2 et √103 et vérifier si 103 est un nombre premier ou non. 103/2 : le reste de la division euclidienne est de 1 103/3 : le reste de la division euclidienne est de 1 103/4 : le reste de la division euclidienne est de 3 103/5 : le reste de la division euclidienne est de 3 103/6 : le reste de la division euclidienne

de sa division euclidienne par 2 est donc 1. Si k ≥ 1, 10k = 2 × (5 × 10k-1), 10k est donc divisible par 2 ; le reste de sa division euclidienne par 2 est 0. On a donc pour tout k > 0, 10k ≡ 0 [2], donc ak 10k ≡ 0 [2]. On en déduit que N ≡ a0 [2]. Ainsi N et son chiffre des unités ont le même reste dans la division euclidienne par 2, d’où le critère. c. Un nombre n 1 0 a ...a a est divisible par 4 si et seulement si 1 0 a a l’est. d. Si k = 0, 10k = 1, le reste de sa division euclidienne par 4

n et r le reste de la division de 2n par 7. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2n 3 par 7 et en déduire en fonction de n, les restes de la division de 2n par 7. 2. Déterminer le reste de 2341 par 7 3. Montrer que 9n et 2n ont le même reste dans la division euclidienne par 7. Exercice 1 Soit n et r le reste de la division de 2n par 7. 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2n 3 par 7 et en déduire en fonction de n, les restes de la division de 2n par 7. 2. Déterminer

dire de celle de cinq entiers consécutifs ? La somme de n entiers consécutifs est-elle un multiple de n (n est un entier naturel) ? Activité 2 : Division euclidienne 1. On veut partager équitablement un lot de 357 CD entre 12 personnes. Combien de CD aura chaque personne ? Combien de CD restera-t-il après le partage ? 2. Pose la division euclidienne de 631 par 17 puis écris 631 sous la forme 17 × k  n où k et n sont des entiers naturels et n  17. Dans cette opération, comment s'appellent les

une succession de divisions euclidiennes. CASIO Collège 2D+ fx-92 Pour effectuer une division euclidienne avec la calculatrice Fx-92 2D+, on utilise la touche X qui permet d’obtenir le quotient et le reste de la division euclidienne de 6209 par 4435. Etape 1 : Pour cela, dans le mode de calcul normal ( w1), on tape la séquence de touches : 6209X4 4435_ On obtient l’écran suivant : Le quotient de la division euclidienne de 6209 par 4435 est : 1 ; Le reste de la division euclidienne de 6209 par 4435

Arithm´tique e I. Division euclidienne La division euclidienne est la division dont le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers (c’est la division vue ` l’´cole primaire). a e Voici la division euclidienne de 85 par 3 : Signification : 85 = 3 ¢ 28 + 1 Dans 85, il y a 28 fois le nombre 3 et il reste 1. Remarquons que le reste est toujours strictement inf´rieur au diviseur. e II. Diviseurs et multiples d’un nombre D´finition e Soient m et d deux nombres. On dit

TS MATHPH QÇ. : 1) Donner les définitions suivantes a) Dans N, b est un diviseur de MATHEMATIOUES : DSl (SPE) Le 15110/2tl} b) pgcd(a ;b) 2) Enoncer le théorème de la division euclidienne puis le démonher (si possible) 3) Enoncer le théorème de Bezout, puis le théorème de GAUSS et le démontrer . a; : . Exercice 1 :1o)Ondonneledéveloppement (a+b)s Une expression développée de (n + naturel =et +5aob+1\a3b2 +lAazb3 +Saba +às endéduire l)t, puis démontrer par récurrence

.................................... 245 Enseignement de spécialité partie a Arithmétique ...................................................................................................... 259 chapitre 1. Divisibilité dans ℤ, division euclidienne, congruences ....................... 261 chapitre 2. Applications chapitre 3. Nombres partie b du PGCD .................................................................................... 267 premiers ..........................

CONGRUENCES Exercice 1 (exercice ouvert) Pour quelles valeurs de l'entier naturel n la fraction A = n2 + n est-elle irréductible? 2n + 1 Exercice 1 Soit n un entier naturel. n 1. Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5 par 13 (on pourra considérer tous les cas particuliers pour n ≤ 4, puis généraliser) . 5 2007 2. En déduire que 2007 – 5 est divisible par 13, puis que 2007 – 8 est divisible par 13. 3. Montrer que, pour tout entier naturel

dominant (et ses racines). Division euclidienne 4. Calculer la division euclidienne de P par Q où (a) P = X 3 + 2X + 3 et Q = X + 2. (b) P = X 3 + 2X + 3 et Q = X 2 + 3 (c) P = X 4 − 3X et Q = X 5 − 3 (d) X 3 − iX 2 − X et Q = X − 1 + i. (e) X n − 2 et Q = X + 1 5. Calculer les restes dans la division euclidienne de . . . (a) X n + X n−1 + X + 1 par ( X − 1)2 (b) X 2n + 2X n + 1 par X 2 + 1 6. Soit P ∈ R[ X ]. On suppose que les restes des divisions euclidiennes par X, X − 1, X + 1 sont respectivement