Dm Nombre Complexes

effectuer ce travail représente l’accélération. 4. Quaternions Les quaternions donnent un système mathématique permettant de représenter des objets grâce à leurs positions et leurs angles. Les quaternions sont aux nombres complexes ce que les nombres complexes sont aux nombres réels. Ils sont plus simples à utiliser que les angles d’Euler et sont plus stables que les matrices de rotations. Le principe est simple : au lieu de tourner un objet via une série de rotations successives, les quaternions

peut s’écrire après simplification : [pic] ; ce n’est pourtant pas une fonction polynôme car elle n’est pas définie sur [pic]. 2. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme a. Définition On appelle racine d'une fonction polynôme P tout nombre a vérifiant : P(a) = 0. Exemples : Les racines de la fonction polynôme P définie sur [pic] par : P(x) = (x – 1)(x+2) sont 1 et –2. Remarque : Certaines fonctions polynômes n'ont aucune racine réelle. Par exemple [pic] qui est strictement

NOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION ET DEFINITION INTRODUCTION Rappelons les inclusions des ensembles des nombres suivants : NC Z C ID C Q C R Considérons l’équation (E) : x2 + 1 = 0. Certaines équations comme (E) n’admettent pas de solution dans R, ce qui explique « l’insuffisance » de R. Le but de ce chapitre est de construire, un nouvel ensemble contenant IR dans lequel toute équation du 2nd degré admet au moins une solution. Imaginons l’existence d’un nombre i tel que : i2 = -1, l’équation

limites. e 10) Suites r´elles et complexes. e 11) Suites adjacentes (ou suites d’intervalles emboˆ es). ıt´ Le paragraphe 12) suivant sera trait´ en T.D sur des exemples dans la mesure e du temps disponible. Il n’est pas strictement au programme de l’unit´: e 12) Suites r´currentes: un+1 = f (un ), o` f est d´croissante. e u e En revanche le paragraphe 13) qui suit est fondamental: 13) Suites: un+1 = f (un ), o` f est contractante. u 0) Propri´t´s du corps IR des nombres r´els. e e e Intuitivement, l’ensemble

imaginaire : n  sin (2n + 1)θ = sin2n+1θ 2 +1 ( −1) j C2 nj+ 1 cotan 2 θ j=0 ( ) n− j 2. Le polynôme Pn est de degré n donc possède au plus n racines. Les réels kπ ,1 2n + 1 k n, sont éléments de ]0, π kπ [, donc sin ≠ 0 et les nombres αk sont bien définis. 2n + 1 2 π [. Il en va donc de même de la 2 D'autre part, la fonction cotan est continue, décroissante et positive sur ]0, fonction cotan qui induit une bijection de ]0, Donc les réels αk sont distincts. D'après la question

: • Toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = a x + b où a et b sont deux nombres réels. Cette équation y = a x + b est appelée équation réduite de D. Le nombre a est le coefficient directeur de D et le nombre b est l’ordonnée à l’origine de D. • Toute droite D’ parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme x = c où c est un nombre réel et correspond à l’abscisse constante de tous les points de D’. Exemples : 1 r j D2 .2 r j y=3 r j

Projet Compilation FLEX et YACC à envoyer à : ludovic.mignot@univ-rouen.fr au plus tard pour le 6 janvier Nombre d’étudiants maximal par groupe : 2 N’oubliez pas d’indiquer les deux noms du groupe 1 Mise en Page Automatique (FLEX) : Vous devrez réaliser un programme de mise en page automatique. À partir d’un fichier source utilisant des marqueurs (des motifs particuliers), l’éxécution de votre programme doit produire un document texte mis en page selon plusieurs contraintes. Un exemple de

d´finition des limites, on a donc montr´ que e e x→+∞ ˜ lim fg (x) = 0 2.3 Etude pour une fonction f particuli`re. e 3.1. On peut proc´der par double int´gration par partie ou (c’est l’option choisie ici) transiter par e e l’exponentilelle complexe. π θ(γ) = Im 0 ey(γ+i) dy = Im −eπγ − 1 γ+i ax 0 = 1 + eπγ 1 + γ2 3.2. Le changement de variable u = tx donne a ∀a ≥ 0, 0 e−t | sin(xt)| dt = 1 x e−u/x | sin(u)| du En faisant tendre a vers +∞, ax → +∞ car

notation et les remarques du correcteur. Centrale-Supelec-2005-MP-mathématiques 1 1 Problème. On dira qu'une fonction dénie de R vers C est continue par morceaux, si elle est continue sur tout segment [a, b] de R sauf peut être en un nombre ni de points de [a, b], où elle admet des limites nies à droite et à gauche. On admet que la somme (respectivement le produit) de deux fonctions continues par morceaux, est continue par morceaux. Dans tout ce problème B désigne l'ensemble des fonctions

Donc f'x.gx.+fx.g'x.dx=fx.gx+c Donc f'x.gx.dx+fx.g'x=fx.gx+c =>fx.g'x.dx=fx.gx-f'x.gx.dx cqfd. -Théorème de la moyenne 2. Def1 : theorème moyenne : Soit f une fonction continue sur [a,b] la moyenne de la fonction f sur cet interval est le nombre réel m donné par : m=1b-a.fx.dx Dem : *faites le graph à la main en dessous A1=A2<=>m.b-a=abfx.dx <=>m=1b-a.abfx.dx 3. Prop2(theorème dela moyenne) : soit f une fonction continue sur [a,b] il existe c e [a,b] tel que fc=1b-aabfx