Dm Nombre Complexes

NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) Les nombres complexes prennent naissance au XVIème siècle lorsqu’un italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576), ci-contre, au nom francisé de Jérôme Cardan, introduit  pour résoudre des équations du troisième degré. En 1572, un autre italien, Rafaele Bombelli (1526 ; 1573) publie "Algebra, parte maggiore dell’aritmetica, divisa in tre libri" dans lequel il présente des nombres de la forme  et poursuit les travaux de Cardan sur la recherche de solutions non réelles

T ale BT S DOM OT IQU E Mardi 22 septembre 2009 NOMBRES COMPLEXES Devoir Surveillé n 1 ˚  Exercice 1 (Un soupçon de calcul dans C pour se mettre en appétit ...) 1. Résoudre dans C l’équation z 2 − 8z + 19 = 0. √ √ 3 ′ d’affixes respectives z = 4 − 3i et z ′ = − 1 + 2. On considère z et z i. 2 2 Calculer les nombres complexes suivants : (a) 4zz ′ (b) z 3 (c) z z′  Exercice 2 (... de la linéarisation pour continuer ...) On considère la fonction f définie sur R par

Séries d’exercices ( Nombres Complexes) Classe : 3ème Math + Sc Exercice 1 : On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct (O ; ). Dans tout l’exercice P \ {O} désigne le plan P privé du point origine O. 1) On prend comme pré-requis les résultats suivants : Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg (zz’) = arg (z) + arg (z’) à 2kπ près, avec k entier relatif. Pour tout vecteur non nul d’affixe z on a :

et la conversion. A- Le filtrage : 1. Rappel sur les nombres complexes : 1.1. Définitions : On appelle nombre complexe Z, tout nombre ayant la forme: Z = a + jb Avec : a et b des nombres réels et j est l’opérateur mathématique caractérisé par j2 = -1. a est la partie réelle de Z et se note Re(Z) ; b est la partie imaginaire de Z et se note Im(Z) ; Le module d’un nombre complexe Z = a + jb, noté Z ou |Z|, est le nombre réel positif : son argument, noté Arg(Z) ou , est l’angle

est un parallélogramme ⇐⇒ OE = OB + OC ⇐⇒ zE = zB + zC = izA + zC . b. En utilisant les deux derniers résultats précédents : zD − zA izC − zA i (zC + izA ) = = = i. zE izA + zC izA + zC c. En utilisant module et argument des deux nombres complexes précédents, on obtient : zD − zA zD − zA AD =i⇒ = 1 ⇐⇒ AD = OE ; = |i| ⇐⇒ zE zE OE zD − zA π −→ −→ − − = i ⇒ OE , AD = arg(i = . Donc OE ⊥ AD. zE 2 Sans utiliser d’affixes connues, on arrive aux mêmes résultats. B 2 A

Représentations et propriétés des Grandeurs sinusoïdales b- Représentation complexe Partie 1- L’alimentation en énergie électrique Chapitre 1 - Les systèmes monophasés 2- Représentations et propriétés des Grandeurs sinusoïdales c- propriétés des grandeurs sinusoïdales A la grandeur sinusoïdale : on associe le nombre complexe u (t ) = U 2 sin (ωt + ϕ ) - Combinaison linéaire si us(t) = u1(t) + u2(t) le nombre complexe associé Ūs= Ū1 + Ū2 r r r le vecteur associé :U s = U 1 + U 2 U = Im 2 U

c’est transformer un produit en une somme ou en une différence. a. Utilisation de la distributivité Pour tous nombres réels k, a et b :Exemples : Développer les expressions suivantes : b. Utilisation de la double distributivité Pour tous nombres a, b, c, d réels:Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes : c. Utilisation des identités remarquables Pour tous nombres réels a et b :Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes. 2. Factoriser Factoriser une expression

Université Paris Diderot MM1  Année 2010/11 Série d'exercices no 1 Nombres complexes  Forme algébrique Exercice 1 1. Trouver deux nombres dont la somme vaut 3 et le produit 2. 2. Trouver deux nombres dont la somme vaut 2 et le produit 3. Exercice 2 Mettre sous la forme a + bi (a, b ∈ R) les nombres complexes suivants : • (5 + 2i) + (1 − 7i) • (3 − 4i) − (2 − 5i) • (3 − 2i)(−4 + i) • (1 + i)2 − 2i • 1 3 + 2i 5 2+i • (2 + i) + • 1 + 2i 3 − 4i 1 + 2i 1 − 2i • + · 3 − 4i 3 + 4i

on renouvelle 10 fois de manière indépendante une expérience à deux issues consistant à tirer un boule dans une urne contenant 3 boules dont une blanche. La probabilité de tirer une blanche est de 1/3. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches obtenues à l’issue des 10 expériences. X suit une loi binomiale de 10 2 7 10 1 3 × et = 3. paramètres (10; 1/3). p(X = 3) = × 3 3 3 3 2. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ(λ > 0). On rappelle que pour

Pour tout nombre complexe z différent de -1, on note p le module de z + 1 et p’ le module de z’+ i. a. Démontrer que pour tout complexe z différent de -1, on a pp’ = 5 . b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M’ = f(M) appartient à un cercle (Γ’), dont on précisera le centre et le rayon. z - 2i 4. Pour tout nombre complexe z différent de −1, on considère le nombre complexe w = z + 1 . a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe w. b. Montrer