Endomorphisme nilpotent

34 Calcul matriciel 35 Équations linéaires 36 Déterminants 37 Calculs de déterminants 38 Rang de matrices 39 Projections 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . . . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . 40.6 Endomorphismes de composition 40.7 Similitude . . . . . . . . . . . . 40.8 Usage de la réduction . . . . . . 40.9 Réduction par blocs . . . . . . . .

passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Formules du changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3) Changement de bases et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 4) Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2) Propriétés du rang

Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Définitions de : loi interne, commutativité, associativité, neutre, élément symétrisable, symétrique, distributivité • Définitions de : groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, endomorphisme d'un groupe, isomorphisme de groupes, automorphisme d'un groupe • Définitions de : anneau, anneau intègre, corps, sous-corps • Définitions de : image directe, image réciproque d'une partie par une application • Les exemples usuels : anneau Z, corps

Points essentiels du cours pour la résolution des exercices • Définitions de : loi interne, commutativité, associativité, neutre, élément symétrisable, symétrique, distributivité • Définitions de : groupe, sous-groupe, morphisme de groupes, endomorphisme d'un groupe, isomorphisme de groupes, automorphisme d'un groupe • Définitions de : anneau, sous-anneau, anneau intègre, corps, sous-corps • Définitions de : image directe, image réciproque d'une partie par une application • Les exemples usuels

28 Soit n ≥ 2 et E = Rn [X] , on définit f par f (P ) = X 2 − X P (1) + X 2 + X P (−1). 1. Montrer que f est un endomorphisme de E. 2. Donner la matrice de f dans la base canonique. Quel est le rang de f ? 3. Déterminer ker f et Im f. Exercice 23.29 Soit n ∈ N, n ≥ 2, on note E = Rn [X] , on définit pour P ∈ E, ϕ (P ) par ϕ (P ) = (X − 1) P ′ + P ′′ (0) 1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de E. 2. Donner la matrice M de ϕ dans la base canonique de E. 3. Déterminer ker ϕ et Im ϕ,donner une base de

5. Application linéaire Pour montrer que f est une application linéaire, on utilise la définition. En cas de difficulté, on peut effectuer la démonstration en deux temps : l’additivité et la multiplication externe. 6. Endomorphisme Pour montrer que f est un endomorphisme, on montre que f est une application linéaire sur l’espace vectoriel E puis que f a pour ensemble d’arrivée E. Pour cela, on montre que pour tout u appartenant à E, on a f (u) appartient à E. En général, dans le cas où E est

. . . . . . . . . TABLE DES MATIÈRES 7 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 7.1 Matrices et application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Cas de la somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Éléments propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Généralités . .

admet des solutions non nulles, on exprimera celles-ci comme des combinaisons linéaires de solutions fixées. Voir l’application fondamentale. Une application fondamentale. • La recherche de valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou d’un endomorphisme (voir chap 5 et 6) conduit à la résolution de systèmes du type ⎧ ⎧ ⎨ a1,1 x + a1,2 y + a1,3 z = lx ⎨ a1,1 − l x + a1,2 y + a1,3 z = 0 ⇔ a2,1 x + a2,2 − l y + a2,3 z = 0 a2,1 x + a2,2 y + a2,3 z = ly ⎩ ⎩ a3,1 x + a3,2 y + a3,3 z = lz a3,1 x + a3

5. Application linéaire Pour montrer que f est une application linéaire, on utilise la définition. En cas de difficulté, on peut effectuer la démonstration en deux temps : l’additivité et la multiplication externe. 6. Endomorphisme Pour montrer que f est un endomorphisme, on montre que f est une application linéaire sur l’espace vectoriel E puis que f a pour ensemble d’arrivée E. Pour cela, on montre que pour tout u appartenant à E, on a f (u) appartient à E. En général, dans le cas où E

Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12 17 22 26 2. Analyse 2.1 Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles de la variable réelle 2.6 Dérivation 2.7 Intégration 2.8 Équations différentielles 2.9 Séries 2.10 Séries