Endomorphisme nilpotent

tout sous-espace propre pour uA est stable par uB (c’est un r´sultat e du cours). Notons λ1 , . . . , λk les valeurs propres de A deux ` deux distinctes et E1 , . . . , Ek les a sous-espaces propres associ´s. Ej ´tant stable par uB , uB induit un endomorphisme vj sur Ej . e e Or, la restriction ` un sous-espace stable d’un diagonalisable est diagonalisable (autre r´sultat a e du cours) et vj est donc diagonalisable. Il existe une base Bj de Ej form´e de vecteurs propres e pour vj et donc pour uB . De

 i −1 2i   I =  2 0 1 . −1 0 1   Exercice 13 - Matrice inverse et polynˆmes - L1/Math Sup o Soit A la matrice de Mn+1 (C) d´finie par ai,j = e j−i i−1 si i ≤ j, ai,j = 0 sinon. 1. Interpr´ter A comme la matrice d’un endomorphisme de Rn+1 [X]. e 2. En d´duire que A est inversible, et calculer son inverse. e Exercice 14 - Matrice ` diagonale dominante - L1/Math Sup a Soit A ∈ Mn (C) une matrice ` diagonale dominante, c’est-`-dire que pour tout i ∈ {1, . . . , n}, a a

] [correction] Soient F, G, F , G des sous-espaces vectoriels de E tels que F ∩ G = F ∩ G . Montrer que (F + (G ∩ F )) ∩ (F + (G ∩ G )) = F Exercice 17 X MP [ 03116 ] [correction] Soient E un espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L(E) nilpotent. Soit S un sous-espace vectoriel de E stable par u et tel que E = S + Imu Montrer que S = E. Exercice 19 [ 01697 ] [correction] Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E. Montrer que Vect(A ∪ B) = Vect(A) + Vect(B). Sous-espaces

désigne le corps R ou C et p un entier naturel non nul. On note Mp (K) le K-espace vectoriel des matrices carrées de taille p à coefficients dans K et Ip la matrice unité de Mp (K). On pourra confondre M1 (K) et K. Une matrice N de Mp (K) est dite nilpotente s’il existe un entier naturel r tel que N r = 0. Si M1 , . . . , Mk sont des matrices carrées, la matrice diag(M1 , . . . , Mk ) désigne la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont M1 , . . . , Mk . Si E est un K-espace vectoriel

lois ∗ et T. Soit f une application de E dans F . On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de (E, ∗) dans (F, T) si : ∀ (x, y) ∈ E 2 , f (x ∗ y) = f (x)Tf (y). Cas particuliers – Un morphisme de (E, ∗) dans (E, ∗) est appel´ un endomorphisme de (E, ∗). e – Un morphisme bijectif de (E, ∗) dans (F, T) est appel´ un isomorphisme. e – Si un tel isomorphisme existe, on dit que (E, ∗) et (F, T) sont isomorphes. D’un point de vue math´matique, deux ensembles isomorphes ont exactement

Incontournable ***** très difficile Exercice 1 *** Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un projecteur p et un automorphisme g de E tel que f = g ◦ p. Correction [005598] Exercice 2 **I Soient E un C-espace vectoriel non nul de dimension finie n et f un endomorphisme de E tel que ∀x ∈ E, ∃p ∈ N∗ tel que f p (x) = 0. Montrer que f est nilpotent. Correction [005599] Exercice 3 *** Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient

sous-espaces vectoriels de R3 , ker P et Im P. 3. Soit Q = I − P, calculer P2 , PQ, QP et Q2 . 4. Caractériser géométriquement P et Q. Correction [002578] Exercice 2 Soit E un espace vectoriel sur un corps K (K = R ou C), et u un endomorphisme de E. On suppose u nilpotent, c’est-à-dire qu’il existe un entier strictement positif n tel que un = 0. 1. Montrer que u n’est pas inversible. 2. Déterminer les valeurs propres de u et les sous-espaces propres associés. Correction Exercice 3 Soit M la

commutent à tout élément de G. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G. Soit A un anneau. Un élément x ∈ A est dit nilpotent si xn = 0A pour un certain n ∈ N∗ . 1) Si A est intègre, montrer que 0A est le seul élément nilpotent de A. 2) Montrer que la somme et le produit de deux éléments nilpotents de A qui commutent sont encore nilpotents. 3) Pour tout x ∈ A nilpotent, montrer que 1A − x est inversible et déterminer (1A − x)−1 . ————————————– 11 Soit A un anneau. 1) On appelle

L’application ϕ : y → xy, d´finie sur KE , est bien ` valeurs dans KE (stabilit´ pour le produit.) e a e Cette application est ´videmment Q-lin´aire. e e Elle est injective. En effet : y ∈ ker ϕ ⇒ xy = 0 ⇒ y = 0 car x = 0. Ainsi ϕ est un endomorphisme injectif de l’espace vectoriel de dimension finie KE . On en d´duit que ϕ est un isomorphisme de KE . e En particulier, il existe y dans KE tel que ϕ(y) = 1, c’est-`-dire tel que xy = 1. a Cela signifie que l’inverse de x dans R pour le produit

In . Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par +∞ Mk . On rappelle que l’application t → exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe exp M = k! k=0 C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si ϕ est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel +∞ k ϕ de dimension finie, on note exp(ϕ) son exponentielle donnée par la série . k! k=0 Soit U un ouvert de Rn . Si f : U → Rp est une application de classe C 1 , on note dfx sa différentielle au point x, soit : 1 ∀h ∈ Rn