Endomorphisme nilpotent

admet des solutions non nulles, on exprimera celles-ci comme des combinaisons linéaires de solutions fixées. Voir l’application fondamentale. Une application fondamentale. • La recherche de valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice ou d’un endomorphisme (voir chap 5 et 6) conduit à la résolution de systèmes du type ⎧ ⎧ ⎨ a1,1 x + a1,2 y + a1,3 z = lx ⎨ a1,1 − l x + a1,2 y + a1,3 z = 0 ⇔ a2,1 x + a2,2 y + a2,3 z = ly a x + a2,2 − l y + a2,3 z = 0 ⎩ ⎩ 2,1 a3,1 x + a3,2 y + a3,3 z = lz a3,1 x + a3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 TABLE DES MATIÈRES 36 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 36.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2 Valeur propre, vecteurs propres et sous espaces propres d’un endomorphisme 36.3 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.4 Matrices carrées diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’Euler, quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 : Transformation de Legendre : continuit´, d´rivablit´, borne sup´rieure. . . . . . e e e e 5 : Irrationnalit´ de e. G´n´ralisation de la formule du binˆme avec un ´l´ment e e e o ee nilpotent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 : Nombres complexes et fonctions usuelles : autour de la formule de Machin. . . . 7 : Des suites de moyennes d´finies par r´currence. . . . . . . . . . . . . . . .

Quelles sont les matrices SR et R7 S ? b) Montrer que tout élément de G est soit une puissance Rk de R, soit un produit Rk S. Préciser le cardinal n de G. Dresser la liste de tous les éléments de G et déterminer la nature géométrique des endomorphismes canoniquement associés dans l’espace euclidien R2 . c) La transformation φS : g → S.g définit une permutation de l’ensemble G. A l’aide du logiciel de calcul formel, dresser la séquence des éléments de G et de leurs images par φS . Quelle

Une matrice inversible 14.6 : Réduction d’un endomorphisme 14.7 : Projections et symétries 14.8 : Suites couplées 14.9 : Matrice de Vandermonde 14.10 : Matrices de permutations (MPSI) 14.11 : Formes linéaires sur les espaces de matrices 15. Polynômes 15.1 : 15.2 : 15.3 : 15.4 : 15.5 : 15.6 : Polynômes de Chebyshev Polynômes de Legendre Relations coefficients-racines Familles de polynômes échelonnées en degré Étude d’un endomorphisme de K n [X] Polynômes interpolateurs de Lagrange

978-2-10-053975-8 Table des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie de Rn Rappels sur Rn Distance

les matrices A et B carrées d’ordre n ? A2 − B 2 (B − A)2 A2 − 2AB + B 2 (A − B)A − (A − B)B A2 − AB − BA + B 2 . Exercice 38 (Matrices nilpotentes) On dit qu’une matrice A ∈ Mn (K) est nilpotente3 d’ordre q si Aq−1 = 0 et Aq = 0. Donner un exemple de matrices carrées 2 × 2 et 3 × 3 nilpotentes d’ordre 2. Donner ensuite un exemple de matrice carrée nilpotente d’ordre 3. Exercice 39 Déterminer deux matrices A et B de M2 (R) tels que : AB = 0 et BA = 0. Exercice 40 (Matrice d’adjacence d’un graphe)

p , avec a, b ∈ R. Exemple 193  1 1  0 1 Soit A =  0 0  0 0   1 0     1 0 . On pose N = A − I =    3 0 1 0 1 2 1 0 à-dire il existe k ∈ N tel que  0 0  0 0 N2 =  0 0  0 0 1 0 0 0 1 2 0 0  1  1 . La matrice N est nilpotente (c’est3  0 N k = 0) comme le montrent les calculs suivants :    2 4 0 0 0 6      0 6 3 0 0 0 0  N = et N 4 = 0.   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Comme on a A = I + N et les matrices N et I commutent (la matrice identité commute avec

g´n´ralise facilement par r´currence ea pour p ≥ 3. Le th´or`me est d´montr´. e e e e ¿º × × ÓÒ Ø ÓÒ× ¿º½º ÈÖ Ð Ñ Ò Ö × Rm Ö ÝÓÒ ×Ô Ò× Rm ØÖ Ð ³ÙÒ Ò ÓÑÓÖÔ ×Ñ Soit E un espace vectoriel de dimension m sur R et u un endomorphisme de E. 106 Analyse num´rique et ´quations diff´rentielles e e e D´finition – On appelle spectre de u la famille (λ1 , . . . , λm ) de ses valeurs e propres r´elles ou complexes, compt´es avec multiplicit´s ( = racines du polynˆme

anae logues pour les matrices triangulaires inf´rieures. e Proposition : Une matrice triangulaire strictement sup´rieure T (dont les e ´l´ments diagonaux sont nuls) de dimensions n × n est telle que : T n = 0 (on ee dit qu’une telle matrice est ”nilpotente ”). La preuve g´n´rale d´coule tr`s simplement du th´or`me de Cayley-Hamilton e e e e e e (voir plus loin en (89)) 1.5 Noyaux, images et rang Il existe une identit´ importante, que nous emploierons ` plusieurs reprises, e a qui permet de