Endomorphisme nilpotent

. . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 1 1 1 2 2 3 4 4 5 5 5 5 7 9 9 11 12 12 13 13 15 16 16 16 17 18 18 19 19 21 21 22 i TABLE DES MATIÈRES 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . Image et noyau d’un endomorphisme . . . Sous-espace engendré par une famille finie Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . Obtention de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 22 23 23 23 3 Matrices 3.1 Opérations

1 1 2 2 3 4 4 5 5 5 5 7 9 9 11 12 12 13 13 15 16 16 16 17 18 18 19 19 21 21 22 i TABLE DES MATIÈRES 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2.7.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . Image et noyau d’un endomorphisme . . . Sous-espace engendré par une famille finie Famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . Obtention de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.1 Formes n-linéaires alternées de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Déterminant d'un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Déterminant d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.4 Déterminant

DEUG II MATHEMATIQUES ALGEBRE 4 COURS ET EXERCICES RESOLUS Dr Ko¢ Germain ABALO 3eme édition - Table des matières 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Polynôme minimal d’ endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . un 1.1.3 Sous espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Etude de

linéaire Pseudo-inverse d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire Supplémentaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire Commutant des endomorphismes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire, anneaux Matrices, déterminant 51 52 53 54 55 56 Etude d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algèbre linéaire, matrices

16.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . 16.4 Applications lin´aires en dimension finie — formule e 16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . du . . . . . . . . . . . rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . 16.4 Applications lin´aires en dimension finie — formule e 16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . du . . . . . . . . . . . rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 16.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . 16.3 Sous-espaces vectoriels en dimension finie . . . . . 16.4 Applications lin´aires en dimension finie — formule e 16.5 Endomorphismes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . du . . . . . . . . . . . rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

finie 69 32 Applications linéaires en dimension finie 71 33 Matrices 76 34 Calcul matriciel 82 35 Équations linéaires 85 36 Déterminants 88 37 Calculs de déterminants 91 38 Rang de matrices 94 39 Projections 98 40 Réductions des endomorphismes 40.1 Diagonalisation . . . . . . . 40.2 Calculs . . . . . . . . . . . 40.3 Espaces fonctionnels . . . . 40.4 Polynômes caractéristique . 40.5 Polynômes annulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a = 2 + 1. Nous avons (a − 1)2 = 2, donc a admet un polynôme minimal et Πa /(X − 1)2 − 2. Si deg Πa = 1, alors Πa = X + α, avec α ∈ Q, or Πa (a) = 0 et donc a = −α ∈ Q, ce qui est impossible, donc Πa = (X − 1)2 − 2 = X2 − 2X − 1. 2. u un endomorphisme nilpotent d’indice p ; u p = 0 et u p−1 = 0, le polynôme minimal de u est donc Πu = X p . 3. a = 1 2 3 4 M2 (R) étant une R-algèbre. Montrons maintenant que dim K[a] = n, pour cela on vérifie que cette famille est libre. n−1 k=0 n−1 Soit (ak )0≤k≤n−1