Endomorphisme nilpotent

. . , n} que la matrice Ei,i est dans A. En déduire une absurdité. b) On prend n = 2. Montrer que A est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires supérieures. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02687 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn (R) où B est nilpotente et commute avec A. Montrer que A et A + B sont simultanément inversibles. Commutation de matrices Exercice 8 [ 00697 ] [correction] On suppose que A, B ∈ Mn (K) commutent et que A est inversible. Justifier que A−1 et B commutent. Exercice 9 [

variables aléatoires indépendantes suivant une même loi de Poisson de paramètre λ. On pose M = max {X,Y }. Déterminer un équivalent de P (M = n) lorsque n tend vers l'in�ni.Stanislas Révisions Réduction T.D. IV PSI 2021-2022 � � � I. Matrices & Endomorphismes explicites Exercice 1. [ccinp] ('21) Pour tout m réel, on pose Am =−m− 1 m 2 −m 1 m −2 m m− 3 . 1. Déterminer, en fonction des valeurs de m, les valeurs propres et les sous-espaces propres de Am. 2. Pour quelles valeurs de m la matrice Am

et on étudie la diagonalisation des matrices et des endomorphismes. On démontre directement au Chapitre 5 que pA (A) = 0 (théorème de CayleyHamilton) par la méthode des déterminants, on introduit le polynôme minimal qA d’une matrice carrée A, et on démontre le théorème de décomposition de Jordan : toute matrice carrée A dont le polynôme caractéristique est scindé s’écrit de manière unique sous la forme A = D + N, avec D diagonalisable, N nilpotente et DN = N D. Un calcul explicite de D et N est obtenu

matrices 3) Produit par un scalaire 4) Produit de matrices 5) Rang d'une matrice II : Anneau des matrices carrées 1) Définition 2) Matrice identité 3) Matrices particulières Matrices scalaires Matrices diagonales Matrices triangulaires Matrices nilpotentes Matrices inversibles III : Transposition 1) Définition 2) Propriétés 3) Matrices symétriques et antisymétriques IV : Changement de bases 1) Définition 2) Expression d'un vecteur 3) Applications linéaires 4) Annexe : composition des vitesses et des

e 99 26 Int´grales : compl´ments e e 103 ` ALGEBRE 3 108 27 Groupes : g´n´ralit´s e e e 108 28 Anneaux et corps 112 29 Groupes finis 116 30 Groupes quotients 120 31 Espaces euclidiens 122 32 Endomorphismes particuliers 129 33 Polynˆmes d’endomorphismes o 134 34 R´duction d’endomorphismes : diagonalisation e 137 35 R´duction d’endomorphismes : autres r´ductions e e 144 V VI ANALYSE 3 152 36 Fonctions convexes

pour un certain réel λ. Réciproquement, toute matrice de cette forme commute avec les éléments de Mn (R). Si on interprète ce calcul dans le langage des applications linéaires, on a prouvé que les endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie qui commutent avec tous les autres endomorphismes de cet espace sont les homothéties. Exercice 16 - Un sous-espace vectoriel de matrices - L1/Math Sup Considérons A, B et C les trois matrices suivantes :       0 0 1 1 0 0 0 0 0    

page pr´c´dente a e e Table des mati`res e Aller ` la page suivante→ a CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES 4. Quel est le meilleur K possible ? Exercice 9.4.102 1. Calculer : 1 . (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3) n=1 +∞ 9.4. SEMAINE 4 2. Soit f un endomorphisme de E cyclique (i.e. ∃v ∈ E, (v, f (v), . . . , f n−1 (v)) est une base de E). Montrer que le commutant de f est K[f ]. Exercice 9.4.103 1. Soient (a1 , . . . , ap ) des r´els distincts. Montrer que : e ∃(α1 , . . . , αp ) ∈ Rp , ∀P ∈ Rp [X], 1

Applications multilinéaires 41 2.2.1 2.2.2 41 41 Généralités Applications multilinéaires alternées Déterminant d'une famille de n vecteurs dans une base d'un ev de dimension n 2.3.1 2.3.2 Espace n (E) Propriétés 43 43 44 2.4 Déterminant d'un endomorphisme 45 2.5 Déterminant d'une matrice carrée 46 III Table des matières 2.6 2.7 2.8 2.9 Développement par rapport à une rangée 49 2.6.1 2.6.2 49 53 Cofacteurs et mineurs Comatrice Calcul des déterminants 55 2.7.1 2.7.2 2.7.3 2.7.4 2

ÔÔ Ð Ñ Ò º Ù Ò ¾¼¼¿ Ð Ö ÒÖÐ ¦ Ð ½¿℄ On a De plus, si ´ ¾ car il contient le neutre ½ . et si Ü , on a ¾ ´ µÜ ¾ ´ ܵ ´Ü µ ´ ܵ ´Ü µ Ü   Ü Ü   Ü Ü´   µ   µÜ ¾¿ ce qui prouve que et est donc un sous-anneau. Ü´ µ µ   § ALGº¿ (Ü nilpotent ´½ ܵ inversible) ´ µ ËÓ Ø Ü ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÐÔÓØ ÒØ ³ÙÒ ÒÒ Ù ¸ ³ ×ع ¹ Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ø Ð ÕÙ³ Ð Ü ×Ø Ô ´½   ܵ ×Ø ÒÚ Ö× Ð Ø ÓÒÒ Ö ×ÓÒ ÒÚ Ö× Ò ÓÒ Ø ÓÒ Üº ¦ Ð ½℄ La formule des anneaux nous permet d’´ecrire ´½   § ALGº¿ ËÓ Ø ´Ü¼ Ý ¼ µ ܵ´½ · Ü · ܾ

de fa¸on unique comme combinaison lin´aire des vecteurs e c e (x1 , . . . , xm ). Les scalaires (λ1 , . . . , λm ) de cette combinaison sont appel´s composantes de x dans e la base B . (3.8) R´ciproquement, un projecteur p de E i.e. un endomorphisme de E v´rifiant p ◦ p = p, est la e e projection sur Imp et parall`lement ` Ker p, qui sont deux sous-espaces suppl´mentaires de E . e a e (3.9) Dans le contexte (2.4), la sym´trie par rapport ` A et parall`lement ` B est l’application s de