Endomorphisme nilpotent

En déduire la valeur de d(X n , H). Partie II Un endomorphisme d’un espace euclidien E est autoadjoint si pour tous x, y ∈ E, f (x)|y = x|f (y) . n On note Π = i=0 (X − i) et on fixe un polynôme M0 dans E. On considère l’application φ de E dans E qui à tout P associe le reste de la division euclidienne de M0 P par Π. 1. Montrer que φ est un endomorphisme de E. 2. Exprimer φ(Li ) en fonction de Li . En déduire que φ est un endomorphisme autoadjoint de E. 3. Donner une condition nécessaire

Proposition 1 Si An est l’ensemble des matrices nilpotentes, (ou même l’ensemble des matrices telles que A2 = 0), alors V (An ) est l’hyperplan {A | tr(A) = 0}. Tout d’abord, puisque toute matrice nilpotente est de trace nulle, on a l’inclusion V (An ) ⊂ {A | tr(A) = 0} . Comme le sous-espace {A | tr(A) = 0} est le noyau d’une forme linéaire, c’est un hyperplan de Mn (R) et il est de dimension n2 − 1. Il reste à trouver un système libre de n2 − 1 matrices nilpotentes pour avoir l’égalité. 2 Les n2 − n matrices

qui est inversible puisque matrice de passage ! Bien sûr son déterminant est connu. 5a) Méthode hors programme en PC . b) Analyse : si f est nilpotente d’ordre n son polynôme caractéristique est (¡1)nXn . Donc P = Xn : Ce qui donne l’allure de la matrice à chercher. Construire la base demandée est alors un grand classique sur les matrices nilpotentes: On commence par utiliser l’hypothèse: on prend un vecteur e1 tel que f n¡1(e1) soit non nul, on alors f n (e1) = 0 et on prend les vecteurs f

euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines du plan 2.4.3 Isométries affines de l'espace 2.4.4 Similitudes planes 2.4.5 La condition de cocyclicite 2.4.6 Applications aux similitudes directes 3. Coniques 3.0 Diagonalisation des endomorphismes symétriques 3.1 Equations d'une conique 3.2 Intersection d'une droite et d'une conique 3.2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole 3.2.2 Cas d'une parabole 3.2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole 3.2.4 Points d'ou l'on mène une tangente 3

(x|y) = xj yj =t XY (expression j j=1 j=1 matricielle) 2.2 Supplémentaire orthogonal Soit F un sev de E , F admet un supplémentaire orthogonal, dimF ⊥ = dimE − dimF , (F ⊥ )⊥ = F 2.3 Adjoint d'un endomorphisme 2.3.1 Existence et unicité Soit u ∈ EndE ; il existe un unique endomorphisme u∗ tel que ∀(x, y) ∈ E 2 , (u(x)|y) = (x|u∗ (y)), u∗ est l'adjoint de u ; matrice dans une bon 2.3.2 Propriétés L'application u → u∗ est un automorphisme involutif de EndE ; (uv)= v ∗ u∗ , tr(u∗ ) =

à n . Pour tout polynôme P ∈ ℝ [X ] on pose ∆(P ) = P (X + 1) − P (X ) . Partie I 1.a Montrer que ∆ est un endomorphisme de ℝ [X ] . 1.b On suppose que P est un polynôme constant, préciser ∆(P ) . On suppose que deg P ≥ 1 , déterminer deg(∆(P )) . 2. Soit n ∈ ℕ∗ . On note ∆n la restriction de ∆ au départ de ℝ n [X ] . 2.a Justifier que ∆n est un endomorphisme de ℝ n [X ] . 2.b Déterminer le noyau de ∆n . 2.c Déterminer le rang puis l’image de ∆n . 3.a Déduire

que r ∑ k=1 Uk Pk = 1. Dans ce qui suit, u est un endomorphisme de E. 17.1 L'algèbre commutative K [u] On note u0 = Id et on dénit les puissances successives de u par la relation de récurrence : ∀k ∈ N, uk+1 = uk ce qui nous permet de dénir, pour tout polynôme P = P (u) , par : P (u) = p ∑ k=0 p ∑ k=0 ak X k ∈ K [X] , l'endomorphisme ak uk La sous algèbre de L (E) engendrée par u est constituée des endomorphismes v = P (u) où P est dans K [X] . On note naturellement K

4 *** Soit f qui à P élément de R2n [X] associe f (P) = (X 2 − 1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655]

u ◦ v ? X PC* 2001 Soit M ∈ Mn (R) avec rg(M) < n ; prouver que M est ´quivalente ` une matrice nilpotente. e a D´terminer les valeurs et vecteurs propres des endomorphismes de e E = Cn [X] : (1) ∆1 (P ) = P (2X + 1) (2) ∆2 (P ) = (X 2 − 1)D(P ) − nXP (3) ∆3 (P ) = P + P (jX) + P (j 2 X) (4) ∆4 (P ) est le reste de la division de X n P par (X − a0 ) . . . (X − an ) u et v sont des endomorphismes de E tels que u admet n valeurs propres distinctes avec n = dim(E) et u ◦ v = v ◦ u. o Prouver qu’il

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . .