Endomorphisme nilpotent

libre ; et demontrer que Ln est injective. (v) En utilisant le pgcd D de P et Q veri er qu'on a : Im(Ln) Dn+p?1 . (v ) Demontrer que Im(Ln) = Dn+p?1 si et seulement si Q divise P et deg(Q) = p ? 1. Soient A et B deux elements de K X ]. Soit f un endomorphisme du K -espace vectoriel E . On pose U = A ^ B; V = A _ B . Exprimer Ker(U (f )); Im(U (f )); Ker(V (f )); Im(V (f )) a l'aide de Ker(A(f )); Im(A(f )); Ker(B (f )); Im(B (f )). Soit n>2 ; soit E l'espace vectoriel Mn (K ) (K est un corps commutatif)

Chapitre: Réduction des endomorphismes 1 Réduction des endomorphismes Proposition 4 : Kerϕ : ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K[X]. Imϕ = K[u] est une sous algèbre de (E). Si dim E est fini alors u admet un polynôme minimal. Table des matières 1 2 Sous espaces stables par un endomorphisme Polynôme d'endomorphisme ou de matrice 1 1 2.1 Polynôme d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

L’essentiel du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 5. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 5.2 5.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . Tout hyperplan contient une matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . Résultant de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance de familles de fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . Endomorphismes laissant stable tous les hyperplans . . . . . . . . . . . . Espace normaux et lemme d’Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compactification d’Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Banach-Steinhaus

01249 ] [correction] Soient λ1 , . . . , λn des éléments de K deux à deux distincts et D = diag(λ1 , . . . , λn ). Déterminer les matrices de Mn (K) commutant avec D. an cn bn dn Exercice 9 [ 02687 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn (R) où B est nilpotente et commute avec A. Montrer que A et A + B sont simultanément inversibles. 2, bn + c n an + dn Exercice 4 [ 03422 ] [correction] Soient A, B ∈ Mn (K) vérifiant AB = A + B Montrer que A et B commutent Exercice 10 [ 00697 ] [correction] On suppose

commun à A et B est un multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n’existe pas un diviseur Q de P tel

. . . . . . . 17.2.4 Réduction de la matrice de f à une forme Jr . . . . . . . . 17.2.5 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Trace d’une matrice, d’un endomorphisme . . . . . . . . . 17.3.1 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2 Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Noyau, image et rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . 17.4.1 Application linéaire canoniquement associée . . . . . . . . . 17.4.2 Noyau

− λ). L’endomorphisme f admet exactement deux valeurs propres distinctes à savoir λ = 1, valeur propre d’ordre 2 et µ = 4, valeur propre d’ordre 1. 1 1 1 4) D’après la question 2), pour tout entier naturel m, fm = 1m (id − j) + 4m j et les endomorphismes p = id − j et 3 3 3 1 q = j conviennent. 3 Réciproquement, si ∀m ∈ N, on a fm = 1m p + 4m q, on a nécessairement p + q = f0 = id et p + 4q = f1 = id + j et donc 1 1 3q = (id + j) − id = j puis q = j et enfin p = id − q = id − j. Ceci montre l’unicité

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 2 : Calculs avec des nombres complexes et des fonctions usuelles. Polynˆmes de o Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 3 : Une bonne base pour des endomorphismes de trace nulle. . . . . . . . . . . . . Pb 4 : Polynˆmes sym´triques ´l´mentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e ee Pb 5 : Coefficients du binˆme. Nombre d’op´rations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Pb 6 : Astro¨

64 12 points Soit (A,B) ∈ Mn (C)2 sans valeur propre commune. a. Montrer que χA (B) est inversible b. Montrer que ∀X ∈ Mn (C), (AX = XB ⇔ X = 0) c. Montrer que ∀M ∈ Mn (C),∃X ∈ Mn (C), unique / AX − XB = M CCP 65 12 points E euclidien et u endomorphisme de E tel que u ◦ u∗ = u∗ ◦ u 1. Montrer que ker u = ker u∗ et que u et u∗ ont les mˆmes valeurs propres et les mˆmes vecteurs propres e e 2. Montrer que deux vecteurs propres associ´s ` deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux e a ⊥ 3.