Ensemble fini

babilitéBTS CGO 1re année Probabilités sur les ensembles finis Probabiltés sur les ensembles finis 1 Rappels 1.1 Expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont ont connaît les résultats possibles mais sans savoir à l’avance celui qui sera réalisé. Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle une issue ou une éventualité. L’ensemble de toutes les issues s’appelle l’univers ; on le note souvent Ω. Un événement est une partie de l’univers. Un

th´eor`eme de changement de variables Une application du th´eor`eme de changement de variables Les espaces Lp Espaces mesur´es complets Ensembles non-mesurables R´ef´erences bibliographiques 3 9 13 19 24 25 31 36 41 45 50 55 62 67 72 76 85 97 102 113 120 120 127 137 142 144 TRIBUS 3 1. Tribus 1.1 D´ efinition. Soit Ω un ensemble et F ⊂ P(Ω) une collection de sous-ensembles de Ω. On dit que F est une tribu sur Ω si elle v´erifie les conditions suivantes : (i) ∅ ∈ F ; (ii) si, pour tout n ∈ N on a An

. . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 12 14 15 2 Le Th´or`me de Baire et l’axiome du choix d´pendant e e e 3 Fonctions continues nulle part d´rivable e 19 3.1 Ensembles maigres et th´or`me de Baire . . . . . . . . . . . . 19 e e 3.2 Un exemple connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Introduction Ce travail de fin de troisi`me ann´e de baccalaur´at en sciences math´me e e e atiques s’articule

Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : Soient et deux ensembles et ( ) , une application. On définit une relation ( ) ( ) sur en posant, pour tout 1. Montrer que est une relation d’équivalence. 2. Décrire la classe ̇ de l’élément . 3. Pourquoi l’application ̇ ( ) Est-elle bien définie ? Montrer qu’elle est injective. Que peut-on conclure sur l’ensemble quotient Allez à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Soit un ensemble et soit posant, pour tout couple ( ? une partie de

la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 1 Logique et ensembles Sommaire 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Propositions, démonstrations, etc. . . . . . . . . . 1.1.2 Ensembles, éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Propriétés portant sur les éléments d’un ensemble 1.1.4 Opérations sur les propositions . . . . . . . . . . . 1.1.5 Quantificateurs . . . . . . . . . . .

RAPPELS SUR LA THEORIE DES ENSEMBLES I- DEFINITION DE L’ENSEMBLE : Un ensemble est constitué d’éléments appelés aussi individus. On désigne un ensemble par une lettre majuscule A, B….. et on désigne un élément par une lettre minuscule a,b … RMQ : l’ensemble peut être fini, ou infini EXEMPLE : l’ensemble des résultats du jet d’un dé bien équilibré : A = { 1,2,3,4,5 ,6} est un ensemble fini. II- TYPES D’ENSEMBLES : 1 – L’ENSEMBLE VIDE : C’est un ensemble qui ne contient aucun élément

corrigé EDHEC : intégrales impropres C Extrait concours ESC, intégrales généralisées C Extrait corrigé ESCP : intégrale généralisée C Extrait corrigé EML : intégration C Extrait HEC corrigé, intégrales généralisées C Extrait corrigé CCIP : lois finies, espérance C Problèmes corrigés : lois usuelles, matrice, FPT... C Fiche corrigée : lois usuelles infinies, espérance Lien vers le Doc 736 revisermonconcours.fr Site d'échange de documents scolaires entre enseignants et étudiants http://revisermonconcours

ENSEMBLES DE NOMBRES Définitions et notations 1. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté [pic]. [pic] = [pic]. Exemples : 4 [pic][pic] -2 [pic][pic] 2. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté [pic]. [pic] = [pic]. Exemples :

graphe est la plus grande distance séparant deux sommets de ce graphe. Connexité On dit qu’un GNO est « connexe » s’il deux éléments quelconques de ce graphe sont reliés par au moins une chaîne. On appelle « composante connexe » d’un GNO, un sous-ensemble maximal de sommets tels qu’il existe une chaîne entre deux sommets quelconques. Un GO est « fortement connexe » si, quels que soient deux sommets x et y, il existe un chemin reliant x à y et un reliant y à x. Initiation à la théorie des graphes

Relations d’´quivalence e ´ 1. Definitions D´finitions-Notation 1.1. Soit E un ensemble. e • Une relation sur E est la donn´e d’un sous-ensemble R de E × E. e • Une relation R sur E est dite (1) r´flexive si l’on a e (x, x) ∈ R (2) sym´trique si l’on a e (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R (3) transitive si l’on a [(x, y) ∈ R] ∧ [(y, z) ∈ R] ⇒ [(x, z) ∈ R] ∀x, y, z ∈ E . • Une relation d’´quivalence sur E est une relation r´flexive, sym´trique et transitive. e e e • En g´n´ral, si R est une relation sur E, on